Rozwiąż równanie ...- Zadanie 10: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 x^{2} - 10 x + 8 \neq = 0 \land x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 \neq = 0$

$x^{2} - 5 x + 4 \neq = 0 \land x^{2} (x - 4) - (x - 4) \neq = 0$

$x^{2} - x - 4 x + 4 \neq = 0 \land (x - 4) (x^{2} - 1) \neq = 0$

$x (x - 1) - 4 (x - 1) \neq = 0 \land (x - 4) (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$(x - 1) (x - 4) \neq = 0 \land x - 4 = 0 \land x - 1 = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x - 1 = 0 \land x - 4 \neq = 0 \land x = 4 \land x = 1 \land x \neq = - 1$

$x = 4 \land x = 1 \land x \neq = - 1$

Zatem:

$D = R \ {- 1, 1, 4}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3}{2 x ^{2} - 10 x + 8} + \frac{1}{x ^{3} - 4 x ^{2} - x + 4} = 0$

$\frac{3}{2 ( x - 1 ) ( x - 4 )} + \frac{1}{( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$\frac{3 ( x + 1 )}{2 ( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x + 1 )} + \frac{2}{2 ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$\frac{3 x + 3}{2 ( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x + 1 )} + \frac{2}{2 ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$\frac{3 x + 3 + 2}{2 ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$\frac{3 x + 5}{2 ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x = - 5$

$x = - \frac{5}{3}$

b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 20 \neq = 0 \land x^{2} + 2 x - 15 \neq = 0$

$x^{2} (x + 5) - 4 (x + 5) \neq = 0 \land x^{2} - 3 x + 5 x - 15 \neq = 0$

$(x + 5) (x^{2} - 4) \neq = 0 \land x (x - 3) + 5 (x - 3) \neq = 0$

$(x + 5) (x + 2) (x - 2) \neq = 0 \land (x - 3) (x + 5) \neq = 0$

$x + 5 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 2 \land x \neq = 3$

Zatem:

$D = R \ {- 5, - 2, 2, 3}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{4}{x ^{3} + 5 x ^{2} - 4 x - 20} - \frac{3}{x ^{2} + 2 x - 15} = 0$

$\frac{4}{( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} - \frac{3}{( x - 3 ) ( x + 5 )} = 0$

$\frac{4 ( x - 3 )}{( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )} - \frac{3 ( x + 2 ) ( x - 2 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{4 x - 12}{( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )} - \frac{3 ( x ^{2} - 4 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{4 x - 12}{( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )} - \frac{3 x ^{2} - 12}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{4 x - 12 - ( 3 x ^{2} - 12 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{4 x - 12 - 3 x ^{2} + 12}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{- 3 x ^{2} + 4 x}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0$

$- 3 x^{2} + 4 x = 0$

$x (- 3 x + 4) = 0$

$x = 0 \lor - 3 x + 4 = 0$

$x = 0 \lor - 3 x = - 4$

$x = 0 \lor x = \frac{4}{3}$

Wobec tego:

$x \in {0, \frac{4}{3}}$

c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 8 \neq = 0 \land x^{2} + 6 x + 8 \neq = 0$

$x^{2} (x + 4) + 2 (x + 4) \neq = 0 \land x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \neq = 0$

$(x + 4) (x^{2} + 2) \neq = 0 \land x (x + 2) + 4 (x + 2) \neq = 0$

$x + 4 \neq = 0 \land x^{2} + 2 \neq = 0 \land (x + 2) (x + 4) \neq = 0$

$x \neq = - 4 \land x^{2} \neq = - 2 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc równanie $x^{2} = - 2$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

$x \neq = - 4 \land x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 4, - 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3 x}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 2 x + 8} - \frac{2}{x ^{2} + 6 x + 8} = 0$

$\frac{3 x}{( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} - \frac{2}{( x + 2 ) ( x + 4 )} = 0$

$\frac{3 x ( x + 2 )}{( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x + 2 )} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 )}{( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$\frac{3 x ^{2} + 6 x}{( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x + 2 )} - \frac{2 x ^{2} + 4}{( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$\frac{3 x ^{2} + 6 x - ( 2 x ^{2} + 4 )}{( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$\frac{3 x ^{2} + 6 x - 2 x ^{2} - 4}{( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$\frac{x ^{2} + 6 x - 4}{( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 36 + 16 = 52$

Wyznaczamy pierwiastki równania $x^{2} + 6 x - 4 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- 6 - 52}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 - 2 13}{2} = - 3 - 13$

$x_{2} = \frac{- 6 + 52}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 + 2 13}{2} = - 3 + 13$

Wobec tego:

$x \in {- 3 - 13, - 3 + 13}$

d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 81 \neq = 0 \land x^{3} - 9 x^{2} - 9 x + 81 \neq = 0$

$x^{2} (x + 9) - 9 (x + 9) \neq = 0 \land x^{2} (x - 9) - 9 (x - 9) \neq = 0$

$(x + 9) (x^{2} - 9) \neq = 0 \land (x - 9) (x^{2} - 9) \neq = 0$

$(x + 9) (x + 3) (x - 3) \neq = 0 \land (x - 9) (x + 3) (x - 3) \neq = 0$

$x + 9 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land x - 9 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = - 9 \land x \neq = - 3 \land x \neq = 3 \land x \neq = 9$

Zatem:

$D = R \ {- 9, - 3, 3, 9}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{5}{x ^{3} + 9 x ^{2} - 9 x - 81} = \frac{- 2}{x ^{3} - 9 x ^{2} - 9 x + 81}$

$\frac{5}{x ^{3} + 9 x ^{2} - 9 x - 81} + \frac{2}{x ^{3} - 9 x ^{2} - 9 x + 81} = 0$

$\frac{5}{( x + 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 )} + \frac{2}{( x - 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 )} = 0$

$\frac{5 ( x - 9 )}{( x + 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 9 )} + \frac{2 ( x + 9 )}{( x - 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 9 )} = 0$

$\frac{5 x - 45}{( x + 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 9 )} + \frac{2 x + 18}{( x - 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 9 )} = 0$

$\frac{5 x - 45 + 2 x + 18}{( x - 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 9 )} = 0$

$\frac{7 x - 27}{( x - 9 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 9 )} = 0$

$7 x - 27 = 0$

$7 x = 27$

$x = \frac{27}{7}$

e) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 \neq = 0 \land x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6 \neq = 0$

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) \neq = 0 \land x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3) \neq = 0$

$(x - 3) (x^{2} + 2) \neq = 0 \land (x + 3) (x^{2} + 2) \neq = 0$

$x - 3 \neq = 0 \land x^{2} + 2 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x^{2} + 2 \neq = 0$

$x \neq = 3 \land x^{2} \neq = - 2 \land x \neq = - 3$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc równanie $x^{2} = - 2$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

$x \neq = 3 \land x \neq = - 3$

Zatem:

$D = R \ {- 3, 3}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{7}{x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x - 6} = \frac{4}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 6}$

$\frac{7}{x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x - 6} - \frac{4}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 6} = 0$

$\frac{7}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 2 )} - \frac{4}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 )} = 0$

$\frac{7 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x + 3 )} - \frac{4 ( x - 3 )}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

$\frac{7 x + 21}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x + 3 )} - \frac{4 x - 12}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

$\frac{7 x + 21 - ( 4 x - 12 )}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

$\frac{7 x + 21 - 4 x + 12}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

$\frac{3 x + 33}{( x + 3 ) ( x ^{2} + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

$3 x + 33 = 0$

$3 x = - 33$

$x = - 11$

f) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 \neq = 0 \land x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 \neq = 0$

$x^{2} (x + 3) - (x + 3) \neq = 0 \land x^{2} (x + 2) - (x + 2) \neq = 0$

$(x + 3) (x^{2} - 1) \neq = 0 \land (x + 2) (x^{2} - 1) \neq = 0$

$(x + 3) (x - 1) (x + 1) \neq = 0 \land (x + 2) (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$x + 3 \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 3 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1 \land x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 3, - 2, - 1, 1}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{2 x}{x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3} - \frac{5}{x ^{3} + 2 x ^{2} - x - 2} = 0$

$\frac{2 x}{( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{5}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0$

$\frac{2 x ( x + 2 )}{( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 )} - \frac{5 ( x + 3 )}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$

$\frac{2 x ^{2} + 4 x}{( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 )} - \frac{5 x + 15}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$

$\frac{2 x ^{2} + 4 x - ( 5 x + 15 )}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$

$\frac{2 x ^{2} + 4 x - 5 x - 15}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$

$\frac{2 x ^{2} - x - 15}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$

$2 x^{2} - x - 15 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15) = 1 + 120 = 121$

Wyznaczamy pierwiastki równania $2 x^{2} - x - 15 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 121}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{- 10}{4} = - \frac{5}{2}$

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 121}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Wobec tego:

$x \in {- \frac{5}{2}, 3}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania kwadratowe

13:14

Zobacz lekcję

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.