W sześciokącie foremnym o polu ...- Zadanie 6: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Długość boku mniejszego sześciokąta foremnego jest połową długości boku większego sześciokąta foremnego.

Większy sześciokąt foremny jest podobny do mniejszego sześciokąta foremnego w skali:

$k = \frac{a}{\frac{1}{2} a} = 2$

Stosunek pola większego sześciokąta foremnego do pola mniejszego sześciokąta foremnego jest więc równy:

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = k^{2}$

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = 2^{2}$

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = 4$

Zatem:

$\frac{16}{P _{2}} = 4$

$16 = P_{2} \cdot 4 ∣ : 4$

$4 = P_{2}$

$P_{2} = 4$

b) Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$2 a$ - długość boku większego sześciokąta foremnego

$2 b$ - długość boku mniejszego sześciokąta foremnego

Rysujemy fragmenty tych sześciokątów.

Miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego jest równa $120^{\circ},$ więc wysokość $h$ podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o kątach $30^{\circ},$ $60^{\circ},$ $90^{\circ} .$

Z własności takich trójkątów otrzymujemy:

Większy sześciokąt foremny jest podobny do mniejszego sześciokąta foremnego w skali:

$k = \frac{2 a}{2 b} = \frac{2 a}{2 \cdot \frac{a 3}{2}} = \frac{2 a}{a 3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{2 3}{3}$

Stosunek pola większego sześciokąta foremnego do pola mniejszego sześciokąta foremnego jest więc równy:

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = k^{2}$

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = (\frac{2 3}{2})^{2}$

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{12}{9}$

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{4}{3}$

Zatem:

$\frac{16}{P _{2}} = \frac{4}{3}$

$3 \cdot 16 = P_{2} \cdot 4 ∣ : 4$

$3 \cdot 4 = P_{2}$

$12 = P_{2}$

$P_{2} = 12$

c) Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$2 a$ - długość boku większego sześciokąta foremnego

$2 b$ - długość boku mniejszego sześciokąta foremnego

Rysujemy fragmenty tych sześciokątów.

Miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego jest równa $120^{\circ},$ więc wysokość $h$ podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o kątach $30^{\circ},$ $60^{\circ},$ $90^{\circ} .$