Przedstaw wynik działania w postaci ...- Zadanie 9: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5$

Zatem:

$x \in R \ {- 5}$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$\frac{2 x}{x + 5} + 2 = \frac{2 x}{x + 5} + \frac{2 ( x + 5 )}{x + 5} = \frac{2 x}{x + 5} + \frac{2 x + 10}{x + 5} = \frac{2 x + 2 x + 10}{x + 5} = \frac{4 x + 10}{x + 5}$

b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 x^{3} - x \neq = 0$

$x (2 x^{2} - 1) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 2 x^{2} - 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 2 x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 0 \land x^{2} \neq = \frac{1}{2}$

$x \neq = 0 \land ∣ x ∣ \neq = \frac{1}{2}$

$x \neq = 0 \land ∣ x ∣ \neq = \frac{2}{2}$

$x \neq = 0 \land x \neq = - \frac{2}{2} \land x \neq = \frac{2}{2}$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{2}{2}, 0, \frac{2}{2}}$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$\frac{2 - 3 x}{2 x ^{3} - x} - 3 = \frac{2 - 3 x}{2 x ^{3} - x} - \frac{3 ( 2 x ^{3} - x )}{2 x ^{3} - x} = \frac{2 - 3 x}{2 x ^{3} - x} - \frac{6 x ^{3} - 3 x}{2 x ^{3} - x} = \frac{2 - 3 x - ( 6 x ^{3} - 3 x )}{2 x ^{3} - x} = \frac{2 - 3 x - 6 x ^{3} + 3 x}{2 x ^{3} - x} = \frac{- 6 x ^{3} + 2}{2 x ^{3} - x}$

c) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} - 4 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 4$

$∣ x ∣ \neq = 2$

$x \neq = - 2 \land x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {- 2, 2}$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$\frac{4 x ^{3}}{x ^{2} - 4} + x = \frac{4 x ^{3}}{x ^{2} - 4} + \frac{x ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2} - 4} = \frac{4 x ^{3}}{x ^{2} - 4} + \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 4} = \frac{4 x ^{3} + x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 4} = \frac{5 x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 4}$

d) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$3 x^{2} - 2 x + 5 \neq = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 < 0$

Zatem:

$x \in R$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$\frac{6 x ^{3} - 4 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5} - 2 x = \frac{6 x ^{3} - 4 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5} - \frac{2 x ( 3 x ^{2} - 2 x + 5 )}{3 x ^{2} - 2 x + 5} = \frac{6 x ^{3} - 4 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5} - \frac{6 x ^{3} - 4 x ^{2} + 10 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5} = \frac{6 x ^{3} - 4 x - ( 6 x ^{3} - 4 x ^{2} + 10 x )}{3 x ^{2} - 2 x + 5} = \frac{6 x ^{3} - 4 x - 6 x ^{3} + 4 x ^{2} - 10 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5} = \frac{4 x ^{2} - 14 x}{3 x ^{2} - 2 x + 5}$

e) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {2}$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$3 x - \frac{5 x - 1}{x - 2} = \frac{3 x ( x - 2 )}{x - 2} - \frac{5 x - 1}{x - 2} = \frac{3 x ^{2} - 6 x}{x - 2} - \frac{5 x - 1}{x - 2} = \frac{3 x ^{2} - 6 x - ( 5 x - 1 )}{x - 2} = \frac{3 x ^{2} - 6 x - 5 x + 1}{x - 2} = \frac{3 x ^{2} - 11 x + 1}{x - 2}$

f) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$3 x + 2 \neq = 0$

$3 x \neq = - 2$

$x \neq = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{2}{3}}$

Wynik działania przedstawimy w postaci ilorazu wielomianów.

$x + \frac{x ^{2} - 1}{3 x + 2} = \frac{x ( 3 x + 2 )}{3 x + 2} + \frac{x ^{2} - 1}{3 x + 2} = \frac{3 x ^{2} + 2 x}{3 x + 2} + \frac{x ^{2} - 1}{3 x + 2} = \frac{3 x ^{2} + 2 x + x ^{2} - 1}{3 x + 2} = \frac{4 x ^{2} + 2 x - 1}{3 x + 2}$