Obliczamy miarę kąta $ACB.$  

$\left|\angle ACB\right|={180}^{\circ }-\left(\left|\angle CAB\right|+\left|\angle CBA\right|\right)={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta, stąd:

$\left|\angle DCS\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\angle ACB\right|=\frac{1}{2}\cdot {60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Trójkąty $DCS$  i $ABC$  są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Z własności trójkątów o kątach ${30}^{\circ },$   ${60}^{\circ },$   ${90}^{\circ }$  otrzymujemy:

Promień  $r$   okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$  i $b$  oraz przeciwprostokątnej długości $c$  jest równy:

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

Zatem:

$\left|SD\right|=\frac{a+a\sqrt{3}-2a}{2}=\frac{a\sqrt{3}-a}{2}=\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa.

$k=\frac{\left|SD\right|}{\left|CA\right|}=\frac{\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}}{a}=\frac{\cancel{a}\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\cdot \frac{1}{\cancel{a}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$