Wykonaj działanie. Wynik przedstaw ...- Zadanie ZADANIE: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę wyrażenia.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 1 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {- 1, 2}$

Wykonujemy działanie, sprowadzając najpierw ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x - 2} = \frac{3 ( x - 2 )}{( x + 1 ) ( x - 2 )} + \frac{x ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x - 6}{( x + 1 ) ( x - 2 )} + \frac{x ^{2} + x}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x - 6 + x ^{2} + x}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + 4 x - 6}{x ^{2} + x - 2 x - 2} = \frac{x ^{2} + 4 x - 6}{x ^{2} - x - 2}$

b) Najpierw określimy dziedzinę wyrażenia.

$3 x \neq = 0 \land x^{2} \neq = 0 \land x^{3} \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 0$

Zatem:

$x \in R \ {0}$

Wykonujemy działanie, sprowadzając najpierw ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{2}{3 x} - \frac{3 x - 1}{x ^{2}} + \frac{3}{x ^{3}} = \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{3}} - \frac{( 3 x - 1 ) \cdot 3 x}{3 x ^{3}} + \frac{9}{3 x ^{3}} = \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{3}} - \frac{9 x ^{2} - 3 x}{3 x ^{3}} + \frac{9}{3 x ^{3}} = \frac{2 x ^{2} - ( 9 x ^{2} - 3 x ) + 9}{3 x ^{3}} = \frac{2 x ^{2} - 9 x ^{2} + 3 x + 9}{3 x ^{3}} = \frac{- 7 x ^{2} + 3 x + 9}{3 x ^{3}}$

c) Najpierw określimy dziedzinę wyrażenia.

$x + 3 \neq = 0 \land x^{2} - 9 \neq = 0$

$x + 3 \neq = 0 \land (x + 3) (x - 3) \neq = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x + 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = - 3 \land x \neq = 3$

Zatem:

$x \in R \ {- 3, 3}$

Wykonujemy działanie, sprowadzając najpierw ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{1}{x + 3} - \frac{x}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x + 3} - \frac{x}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{x - 3}{( x + 3 ) ( x - 3 )} - \frac{x}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{x - 3 - x}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{- 3}{x ^{2} - 9}$