a) Podaną sumę zapiszemy w innej postaci:

$5^1-2^2+5^2-2^3+5^3-2^4+\dots +5^7-2^8$  

$5^1+\left(-2^2\right)+5^2+\left(-2^3\right)+5^3+\left(-2^4\right)+\dots +5^7+\left(-2^8\right)$  

Sumę tą rozbijemy na dwie sumy:

$S^a:5^1+5^2+5^3+\dots +5^7$  

$S^b:\left(-2^2\right)+\left(-2^3\right)+\left(-2^4\right)+\dots +\left(-2^8\right)$  

Ilorazy tych ciągów są równe:

$q_a=\frac{5^2}{5^1}=5$  

$q_2=\frac{-2^3}{-2^2}=2$  

Obie sumy składają się z 7 składników. Obliczamy $S^a$  oraz  $S^b.$  

$S^a=a_1\cdot \frac{1-{\left(q_a\right)}^7}{1-q_a}=5\cdot \frac{1-{\left(5\right)}^7}{1-5}=5\cdot \frac{1-{\left(5\right)}^7}{1-5}=5\cdot \frac{1-78125}{-4}=-\frac{5}{4}\cdot \left(-78124\right)=97655$  

$S^b=b_1\cdot \frac{1-{\left(q_b\right)}^7}{1-q_b}=-2^2\cdot \frac{1-{\left(2\right)}^7}{1-2}=-4\cdot \frac{1-128}{-1}=4\cdot \left(-127\right)=-508$  

Obliczamy podaną sumę.

$S=S^a+S^b=97655+\left(-508\right)=97655-508=97157$  

---

b) Podaną sumę zapiszemy w innej postaci:

$3-1+9-4+27-7+\dots +3^{10}-28$  

$\left(3-1\right)+\left(9-4\right)+\left(27-7\right)+\dots +\left(3^{10}-28\right)$  

$\left(3^1-1\right)+\left(3^2-1-3\right)+\left(3^3-1-3-3\right)+\dots +\text{(}{3}^{10}-1\underset{\text{9 razy}}{\underbrace{-3-3-\dots -3}}\text{)}$  

$\left(3^1-1\right)+\left(3^2-1-3\cdot 1\right)+\left(3^3-1-3\cdot 2\right)+\dots +\left(3^{10}-1-3\cdot 9\right)$  

$\left(3^1+\left(-1\right)\right)+\left(3^2+\left(-1-3\cdot 1\right)\right)+\left(3^3+\left(-1-3\cdot 2\right)\right)+\dots +\left(3^{10}+\left(-1-3\cdot 9\right)\right)$  

Sumę tą rozbijemy na dwie sumy (sumę ciągu geometrycznego oraz sumę ciągu arytmetycznego).

$S^a:3^1+3^2+3^3+\dots +3^{10}$  

$S^b:\left(-1\right)+\left(-1-3\cdot 1\right)+\left(-1-3\cdot 2\right)+\dots +\left(-1-3\cdot 9\right)$  

Iloraz ciągu $\left(a_n\right)$  jest równy:

$q_a=\frac{3^2}{3^1}=3$  

Różnica ciągu $\left(b_n\right)$  jest równa:

$r_b=\left(-4\right)-\left(-1\right)=-4+1=-3$  

Obie sumy składają się z 10 składników. Obliczamy $S^a$  oraz  $S^b.$  

$S^a=a_1\cdot \frac{1-{\left(q_a\right)}^{10}}{1-q_a}=3\cdot \frac{1-{\left(3\right)}^{10}}{1-3}=3\cdot \frac{1-59049}{-2}=-\frac{3}{2}\cdot \left(-59048\right)=88572$  

$S^b=\frac{b_1+b_{10}}{2}\cdot 10=\left(-1+\left(-28\right)\right)\cdot 5=\left(-1-28\right)\cdot 5=-29\cdot 5=-145$  

Obliczamy podaną sumę.

$S=S^a+S^b=88572+\left(-145\right)=88572-145=88427$