Zapiszemy równość wynikającą z warunków zadania.

$a_7=a_4+10$  

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego. 

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_4=a_1\cdot q^3=5q^3$  

$a_7=a_1\cdot q^6=5q^6$  

Wobec tego:

$5q^6=5q^3+10\mid -5q^3$  

$5q^6-5q^3=10\mid -10$  

$5q^6-5q^3-10=0\mid :5$  

$q^6-q^3-2=0$  

Podstawienie pomocnicze:

$q^3=t$  

Mamy więc:

$t^2-t-2=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$t_1=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$t_2=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Zatem:

$q^3=-1\vee q^3=2$  

$q=-1\vee q=\sqrt[3]{2}$  

Dwa ciągi spełniają warunki zadania. Wyznaczamy wzory ogólne tych ciągów.

$a_n=5\cdot {\left(-1\right)}^{n-1}$  

$a_n=5\cdot {\left(\sqrt[3]{2}\right)}^{n-1}$