Trójkąt równoramienny rozwartokątny

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość ramienia podstawy graniastosłupa.

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{h}{\left|AB\right|}\mid \cdot \text{|}AB\text{|}$  

$\left|AB\right|\cdot \text{tg}{60}^{\circ }=h\mid :\text{tg}{60}^{\circ }$  

$\left|AB\right|=\frac{h}{\text{tg}{60}^{\circ }}$  

$\left|AB\right|=\frac{h}{\sqrt{3}}$  

$\left|AB\right|=\frac{h\sqrt{3}}{3}$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość trzeciego boku podstawy graniastosłupa.

$\text{tg}{45}^{\circ }=\frac{h}{\left|BC\right|}\mid \cdot \text{|}BC\text{|}$  

$\left|BC\right|\cdot \text{tg}{45}^{\circ }=h\mid :\text{tg}{45}^{\circ }$  

$\left|BC\right|=\frac{h}{\text{tg}{45}^{\circ }}$  

$\left|BC\right|=\frac{h}{1}$  

$\left|BC\right|=h$  

Zauważmy, że:

$\cos \beta =\frac{\frac{1}{2}\left|EF\right|}{\left|ED\right|}=\frac{\frac{1}{2}\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\frac{1}{2}h}{\frac{h\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Wobec tego:

$\beta ={30}^{\circ }$  

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, więc:

$\alpha ={180}^{\circ }-2\beta ={180}^{\circ }-2\cdot {30}^{\circ }={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Kąty między ścianami graniastosłupa mają miary 30^o i 120^o.

---

Trójkąt równoramienny ostrokątny

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość ramienia podstawy graniastosłupa.

$\text{tg}{45}^{\circ }=\frac{h}{\left|AB\right|}\mid \cdot \text{|}AB\text{|}$  

$\left|AB\right|\cdot \text{tg}{45}^{\circ }=h\mid :\text{tg}{45}^{\circ }$  

$\left|AB\right|=\frac{h}{\text{tg}{45}^{\circ }}$  

$\left|AB\right|=\frac{h}{1}$  

$\left|AB\right|=h$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość trzeciego boku podstawy graniastosłupa.

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{h}{\left|BC\right|}\mid \cdot \text{|}BC\text{|}$  

$\left|BC\right|\cdot \text{tg}{60}^{\circ }=h\mid :\text{tg}{60}^{\circ }$  

$\left|BC\right|=\frac{h}{\text{tg}{60}^{\circ }}$  

$\left|BC\right|=\frac{h}{\sqrt{3}}$  

$\left|BC\right|=\frac{h\sqrt{3}}{3}$  

Zauważmy, że:

$\cos \beta =\frac{\frac{1}{2}\left|EF\right|}{\left|ED\right|}=\frac{\frac{1}{2}\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\frac{h\sqrt{3}}{3}}{h}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$  

Wobec tego:

$\beta \approx {54}^{\circ }$  

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, więc:

$\alpha ={180}^{\circ }-2\beta \approx {180}^{\circ }-2\cdot {54}^{\circ }={180}^{\circ }-{108}^{\circ }={72}^{\circ }$  

Kąty między ścianami graniastosłupa mają miary ok. 54^o i 72^o.