a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Promień koła wpisanego w kwadrat o boku długości a jest równy połowie długości boku tego kwadratu, czyli: 

$r=\frac{1}{2}a$  

Promień koła opisanego na kwadracie o boku długości a jest równy połowie długości przekątnej tego kwadratu, czyli:

$r=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$  

Wysokość wszystkich trzech brył oznaczmy przez h.

Wyznaczamy objętość walca wpisanego w graniastosłup.

$V_1=\pi r^{2}h=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\cdot h=\pi \cdot \frac{1}{4}{a}^2\cdot h=\frac{a^{2}h\pi }{4}$  

Wyznaczamy objętość walca opisanego na graniastosłupie.

$V_2=\pi R^{2}h=\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2\cdot h=\pi \cdot \frac{2}{4}{a}^2\cdot h=\pi \cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot h=\frac{a^{2}h\pi }{2}$  

Obliczamy, ile razy większą objętość ma walec opisany na graniastosłupie od walca wpisanego w ten graniastosłup.

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{a^{2}h\pi }{2}}{\frac{a^{2}h\pi }{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot 4=2$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Przekątna kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu długości r ma długość średnicy tego okręgu, czyli:

$a\sqrt{2}=2r\mid :\sqrt{2}$  

$a=\frac{2r}{\sqrt{2}}$  

Bok kwadratu opisanego na okręgu o promieniu długości r ma długość średnicy tego okręgu, czyli:

$b=2r$  

Wysokość wszystkich trzech brył oznaczmy przez h.

Wyznaczamy objętość graniastosłupa wpisanego w walec.

$V_1=P_p\cdot h=a^2\cdot h={\left(\frac{2r}{\sqrt{2}}\right)}^2\cdot h=\frac{4r^2}{2}\cdot h=2r^{2}h$  

Wyznaczamy objętość graniastosłupa opisanego na walcu.

$V_2=P_p\cdot h=a^2\cdot h={\left(2r\right)}^2\cdot h=4r^{2}h$  

Obliczamy, ile razy większą objętość ma graniastosłup opisany na walcu od graniastosłupa wpisanego w ten walec.

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{4r^{2}h}{2r^{2}h}=2$