Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Punkt S dzieli podstawę graniastosłupa na 6 trójkątów równobocznych o boku a, więc:

$\left|AE\right|=2a$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta AEJ obliczamy długość przekątnej d (najdłuższej przekątnej):

${\left|AE\right|}^2+{\left|EJ\right|}^2={\left|AJ\right|}^2$  

${\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=d^2$  

$4a^2+4a^2=d^2$  

$8a^2=d^2$  

$d=2a\sqrt{2}$  

---

Odcinek PE jest wysokością trójkąta równobocznego. Stąd:

$\left|DE\right|=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DEJ obliczamy długość przekątnej p (najkrótszej przekątnej):

${\left|DE\right|}^2+{\left|EJ\right|}^2={\left|DJ\right|}^2$  

${\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=p^2$  

$3a^2+4a^2=p^2$  

$7a^2=p^2$  

$p=a\sqrt{7}$