$f\left(x\right)=x^3+3x^2-24x+1$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+3\cdot 2x-24$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x-24$  

 

Szukana styczna jest równoległa do osi x, zatem jest postaci:   

$y=0\cdot x+b$  

Zatem współczynnik kierunkowy jest równy 0. 

 

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=0$  

$3x_0^2+6x_0-24=0\mid :3$  

$x_0^2+2x_0-8=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$x_0=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4\vee x_0=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$  

 

Przypadek I.

$x_0=-4$  

$f\left(-4\right)={\left(-4\right)}^3+3\cdot {\left(-4\right)}^2-24\cdot \left(-4\right)+1=-64+48+96+1=81$  

Szukany punkt to  $\left(-4,81\right).$  

 

Przypadek II.

$x_0=2$  

$f\left(2\right)=2^3+3\cdot 2^2-24\cdot 2+1=8+12-48+1=-27$  

Szukany punkt to  $\left(2,-27\right).$