a) Najmniejsza możliwa odległość pomiędzy punktami leżącymi na dwóch różnych gałęziach hiperboli to długość odcinka łączącego wierzchołki hiperboli.

W poprzednim zadaniu pokazaliśmy, że wierzchołkami hiperboli  $y=\frac{a}{x}$  dla  $a>0$  są punkty o współrzędnych  $\left(\sqrt{a},\sqrt{a}\right)$  oraz  $\left(-\sqrt{a},-\sqrt{a}\right).$  

Wyznaczamy współrzędne punktów będących wierzchołkami hiperboli  $y=\frac{1}{x}.$  

$\left(\sqrt{1},\sqrt{1}\right)=\left(1,1\right)$  

$\left(-\sqrt{1},-\sqrt{1}\right)=\left(-1,-1\right)$  

Obliczamy odległość pomiędzy tymi punktami.

$\sqrt{{\left(-1-1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

Pokazaliśmy, że najmniejsza możliwa odległość pomiędzy punktami leżącymi na dwóch różnych gałęziach hiperboli $y=\frac{1}{x}$  jest równa  $2\sqrt{2}.$  

---

b) Wyznaczamy współrzędne punktów będących wierzchołkami hiperboli  $y=\frac{2}{x}.$  

$\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$  

$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$  

Obliczamy odległość pomiędzy tymi punktami.

$\sqrt{{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$  

Najmniejsza możliwa odległość pomiędzy punktami leżącymi na dwóch różnych gałęziach hiperboli $y=\frac{2}{x}$  jest równa 4.