Jakie liczby należy wstawić ...- Zadanie 11: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Dane ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika i wyznaczamy ich sumę.

$\frac{a}{5 x - 2} + \frac{b}{x} = \frac{a \cdot x}{( 5 x - 2 ) \cdot x} + \frac{b \cdot ( 5 x - 2 )}{x \cdot ( 5 x - 2 )} = \frac{a x}{x ( 5 x - 2 )} + \frac{5 b x - 2 b}{x ( 5 x - 2 )} = \frac{a x + 5 b x - 2 b}{x ( 5 x - 2 )} = \frac{( a + 5 b ) x - 2 b}{x ( 5 x - 2 )}$

Wobec tego:

$(a + 5 b) x - 2 b = 4$

Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach, zatem:

${a + 5 b = 0 - 2 b = 4 ∣ : (- 2)$

${a + 5 b = 0 b = - 2$

${a + 5 \cdot (- 2) = 0 b = - 2$

${a - 10 = 0 ∣ + 10 b = - 2$

${a = 10 b = - 2$

b) Dane ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika i wyznaczamy ich sumę.

$\frac{a}{x - 3} + \frac{b}{x + 2} = \frac{a \cdot ( x + 2 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )} + \frac{b \cdot ( x - 3 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{a x + 2 a}{( x - 3 ) ( x + 2 )} + \frac{b x - 3 b}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{a x + 2 a + b x - 3 b}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{a x + b x + 2 a - 3 b}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{( a + b ) x + 2 a - 3 b}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$

Wobec tego:

$(a + b) x + 2 a - 3 b = 15$

Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach, zatem:

${a + b = 0 ∣ - b 2 a - 3 b = 15$

${a = - b 2 \cdot (- b) - 3 b = 15$

${a = - b - 2 b - 3 b = 15$

${a = - b - 5 b = 15 ∣ : (- 5)$

${a = - b b = - 3$

${a = - (- 3) b = - 3$

${a = 3 b = - 3$

c) Dane ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika i wyznaczamy ich sumę.

$\frac{a}{2 x + 1} + \frac{b}{x + 3} = \frac{a ( x + 3 )}{( 2 x + 1 ) ( x + 3 )} + \frac{b ( 2 x + 1 )}{( x + 3 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{a x + 3 a}{( 2 x + 1 ) ( x + 3 )} + \frac{2 b x + b}{( x + 3 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{a x + 3 a + 2 b x + b}{( x + 3 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{a x + 2 b x + 3 a + b}{( x + 3 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{( a + 2 b ) x + 3 a + b}{( x + 3 ) ( 2 x + 1 )}$

Wobec tego:

$(a + 2 b) x + 3 a + b = - 10 x$

Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach, zatem:

${a + 2 b = - 10 3 a + b = 0 ∣ - 3 a$

${a + 2 b = - 10 b = - 3 a$

${a + 2 \cdot (- 3 a) = - 10 b = - 3 a$

${a - 6 a = - 10 b = - 3 a$

${- 5 a = - 10 ∣ : (- 5) b = - 3 a$

${a = 2 b = - 3 a$

${a = 2 b = - 3 \cdot 2$

${a = 2 b = - 6$

d) Dane ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika i wyznaczamy ich sumę.

$\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{1 - 3 x} = \frac{a ( 1 - 3 x )}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} + \frac{b ( x + 4 )}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} = \frac{a - 3 a x}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} + \frac{b x + 4 b}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} = \frac{a - 3 a x + b x + 4 b}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} = \frac{- 3 a x + b x + a + 4 b}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )} = \frac{( - 3 a + b ) x + a + 4 b}{( x + 4 ) ( 1 - 3 x )}$

Wobec tego:

$(- 3 a + b) x + a + 4 b = 7 x - 11$

Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach, zatem:

${- 3 a + b = 7 ∣ + 3 a a + 4 b = - 11$

${b = 7 + 3 a a + 4 (7 + 3 a) = - 11$

${b = 7 + 3 a a + 28 + 12 a = - 11$

${b = 7 + 3 a 13 a + 28 = - 11 ∣ - 28$

${b = 7 + 3 a 13 a = - 39 ∣ : 13$

${b = 7 + 3 a a = - 3$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.