1. Dany trójmian kwadratowy rozłożymy na czynniki możliwie najniższego stopnia.

$3x^2+8x-3$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =8^2-4\cdot 3\cdot \left(-3\right)=64+36=100$  

Ponieważ $\Delta >0,$  to równanie $3x^2+8x-3=0$  ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-8-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-8-10}{6}=\frac{-18}{6}=-3$  

$x_2=\frac{-8+\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-8+10}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

Stąd otrzymujemy, że:

$3x^2+8x-3=3\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$  

---

2. Dany trójmian kwadratowy rozłożymy na czynniki możliwie najniższego stopnia.

$4x^2+4x+1$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0$  

Ponieważ $\Delta =0,$  to równanie $4x^2+4x+1=0$  ma jedno rozwiązanie.

$x_0=\frac{-4}{2\cdot 4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$  

Stąd otrzymujemy, że:

$4x^2+4x+1=4{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$  

---

3. Dany trójmian kwadratowy rozłożymy na czynniki możliwie najniższego stopnia.

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x-4$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-4\right)=4-8=-4$  

Ponieważ $\Delta <0,$  to równanie $-\frac{1}{2}{x}^2+2x-4$  nie ma rozwiązań.

Wielomianu  $-\frac{1}{2}{x}^2+2x-4$  nie da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego.

---

4. Dany trójmian kwadratowy rozłożymy na czynniki możliwie najniższego stopnia.

$-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x+20$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(\frac{7}{3}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 20=\frac{49}{9}+\frac{80}{3}=\frac{49}{9}+\frac{240}{9}=\frac{289}{9}$  

Ponieważ $\Delta >0,$  to równanie $-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x+20=0$  ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-\frac{7}{3}-\sqrt{\frac{289}{9}}}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-\frac{7}{3}-\frac{17}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{-\frac{24}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{-8}{-\frac{2}{3}}=-8\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=12$  

$x_2=\frac{-\frac{7}{3}+\sqrt{\frac{289}{9}}}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-\frac{7}{3}+\frac{17}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{10}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{10}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-5$  

Stąd otrzymujemy, że:

$-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x+20=-\frac{1}{3}\left(x-12\right)\left(x+5\right)$