$\text{a)}\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ y=x+1\end{array}$  

Podstawiamy y=x+1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x+1\right)}^2=25\\ y=x+1\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(x+1\right)}^2=25$  

$x^2+x^2+2x+1=25$  

$2x^2+2x-24=0\mid :2$  

$x^2+x-12=0$  

$\Delta =1+48=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\text{lub}x=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=x+1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-4+1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$  

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\left(-4,-3\right),\left(3,4\right)$  

---

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5 oraz prosta y=x+1 przecinające się w punktach (-4, -3) i (3, 4).

---

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}xy=\frac{3}{2}\mid \cdot 4\\ 3x-4y-3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4xy=6\\ 3x-3=4y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4y\cdot x=6\\ 4y=3x-3\end{array}$  

Podstawiamy 4y=3x-3 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}\left(3x-3\right)\cdot x=6\\ 4y=3x-3\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$\left(3x-3\right)\cdot x=6$  

$3\left(x-1\right)\cdot x=6\mid :3$  

$\left(x-1\right)\cdot x=2$  

$x^2-x-2=0$  

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{lub}x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ 4y=3x-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=3x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ 4y=3\cdot \left(-1\right)-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=3\cdot 2-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ 4y=-3-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=6-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ 4y=-6\mid :4\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=3\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{3}{4}\end{array}$  

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\left(-1,-\frac{3}{2}\right),\left(2,\frac{3}{4}\right)$  

---

Przekształcamy pierwsze równanie:

$xy=\frac{3}{2}\mid :x,x\ne 0$  

$y=\frac{3}{2x}$  

Powyższe równanie jest równaniem hiperboli. 

Budujemy tabelkę wartości funkcji.

$x$	$-3$	$-2$	$-\frac{3}{2}$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
$y=\frac{3}{2x}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{3}{4}$	$-1$	$-\frac{3}{2}$	$-3$	$3$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}$

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$3x-4y-3=0$  

$3x-3=4y\mid :4$  

$y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$  

Interpretacją geometryczną układu równań są hiperbola  $y=\frac{3}{2x}$  i prosta  $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$   przecinające się w punktach  $\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$  i  $\left(2,\frac{3}{4}\right).$  

---

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}y=x^2+5x+8\\ y-x+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2+5x+8\\ y=x-3\end{array}$  

Podstawiamy y=x-3 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x-3=x^2+5x+8\\ y=x-3\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x-3=x^2+5x+8$  

$0=x^2+4x+11$  

$x^2+4x+11=0$  

$\Delta =16-44<0$  

Δ<0, więc pierwsze równanie w układzie nie ma rozwiązań.

Wobec tego układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.

---

Interpretacją geometryczną układu równań są parabola y=x²+5x+8 i prosta y-x+3=0 niemające punktów wspólnych.

Budujemy tabelkę wartości funkcji y=x²+5x+8.

x	-5	-4	-3	-2	-1	0
y=x2+5x+8	8	4	2	2	4	8

 

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$y-x+3=0$  

$y=x-3$  

Szkicujemy parabolę i prostą we wspólnym układzie współrzędnych.

---

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}xy=3\\ 2x+y=7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}xy=3\\ y=-2x+7\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+7 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x\cdot \left(-2x+7\right)=3\\ y=-2x+7\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x\cdot \left(-2x+7\right)=3$  

$-2x^2+7x-3=0$  

$\Delta =49-24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x=\frac{-7-5}{-4}=\frac{-12}{-4}=3\text{lub}x=\frac{-7+5}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-2x+7\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-2\cdot \frac{1}{2}+7\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\cdot 3+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1+7\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-6+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=6\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$  

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\left(\frac{1}{2},6\right),\left(3,1\right)$  

---

Przekształcamy pierwsze równanie w układzie.

$xy=3\mid :x,x\ne 0$  

$y=\frac{3}{x}$  

Powyższe równanie jest równaniem hiperboli. 

Budujemy tabelkę wartości funkcji.

$x$	$-6$	$-3$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$3$	$6$
$y=\frac{3}{x}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-3$	$-6$	$6$	$3$	$1$	$\frac{1}{2}$

 

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$2x+y=7$  

$y=-2x+7$  

Interpretacją geometryczną układu równań są hiperbola i prosta przecinające się w punktach (¹/₂, 6) i (3, 1).

---

---

$\text{e)}\{\begin{array}{l}{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\\ x-3y+6=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\\ x=3y-6\end{array}$  

Podstawiamy x=3y-6 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{\left(3y-6+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\\ x=3y-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(3y-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\\ x=3y-6\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

${\left(3y-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$  

$9y^2-24y+16+y^2-6y+9=9$  

$10y^2-30y+16=0\mid :2$  

$5y^2-15y+8=0$  

$\Delta =225-160=65,\sqrt{\Delta }=\sqrt{65}$  

$y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\text{lub}y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}$  

Podstawiamy wyznaczone wartości y do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\\ x=3y-6\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}\\ x=3y-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\\ x=3\cdot \frac{15-\sqrt{65}}{10}-6\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}\\ x=3\cdot \frac{15+\sqrt{65}}{10}-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\\ x=\frac{45-3\sqrt{65}}{10}-\frac{60}{10}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}\\ x=\frac{45+3\sqrt{65}}{10}-\frac{60}{10}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\\ x=\frac{-15-3\sqrt{65}}{10}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}\\ x=\frac{-15+3\sqrt{65}}{10}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{-15-3\sqrt{65}}{10}\\ y=\frac{15-\sqrt{65}}{10}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{-15+3\sqrt{65}}{10}\\ y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}\end{array}$  

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\left(\frac{-15-3\sqrt{65}}{10},\frac{15-\sqrt{65}}{10}\right),\left(\frac{-15+3\sqrt{65}}{10},\frac{15+\sqrt{65}}{10}\right)$  

---

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$x-3y+6=0$  

$x+6=3y\mid :3$  

$\frac{1}{3}x+2=y$  

$y=\frac{1}{3}x+2$  

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg ośrodku (-2, 3) i promieniu 3 oraz prosta y=¹/₃x+2 przecinające się w punktach

$\left(\frac{-15-3\sqrt{65}}{10},\frac{15-\sqrt{65}}{10}\right),\left(\frac{-15+3\sqrt{65}}{10},\frac{15+\sqrt{65}}{10}\right)$  

---

---

$\text{f)}\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\\ y=2x-4\end{array}$  

Podstawiamy y=2x-4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(2x-4-3\right)}^2=9\\ y=2x-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(2x-7\right)}^2=9\\ y=2x-4\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(2x-7\right)}^2=9$  

$x^2+4x^2-28x+49=9$  

$5x^2-28x+40=0$  

$\Delta =784-800<0$  

Δ<0, więc pierwsze równanie w układzie nie ma rozwiązań.

Wobec tego układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.

---

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg ośrodku w punkcie (0, 3) i promieniu 3 oraz prosta y=2x-4 niemające punktów wspólnych.