a) Odcinek AB jest średnicą okręgu, więc szukane styczne są równoległe.

Niech proste:

$k_1:y=ax+b_1$  

$k_2:y=ax+b_2$  

będą stycznymi do okręgu odpowiednio w punktach A i B.

---

Odczytujemy współrzędne punktów A i B:

$A=\left(-3,-3\right),B=\left(3,3\right)$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-\left(-3\right)}{3-\left(-3\right)}=\frac{6}{6}=1$  

---

Proste k₁ (k₂) i AB są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AB}}=-1$  

$a\cdot 1=-1$  

$a=-1$  

Wówczas równania prostych k₁ i k₂ przyjmują postaci:

$k_1:y=-x+b_1$  

$k_2:y=-x+b_2$  

---

Podstawiając współrzędne punktu A do równania prostej k₁ wyznaczamy b₁:

$-3=-\left(-3\right)+b_1$  

$-3=3+b_1$  

$-6=b_1$  

$b_1=-6$  

Podstawiając współrzędne punktu B do równania prostej k₂ wyznaczamy b₂:

$3=-3+b_2$  

$6=b_2$  

$b_2=6$  

---

Otrzymujemy, że szukane styczne mają równania:

$k_1:y=-x-6$  

$k_2:y=-x+6$  

---

---

b) Niech proste:

$k_1:y=a_{1}x+b_1$  

$k_2:y=a_{2}x+b_2$  

będą stycznymi do okręgu odpowiednio w punktach A i B.

---

Odczytujemy, że punkty A i B to współrzędne przecięcia prostej y=1 z okręgiem ośrodku w punkcie O=(0, 0) i promieniu 3, czyli okręgu o równaniu:

$x^2+y^2=9$  

Wyznaczamy współrzędne punktów A i B:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=9\\ y=1\end{array}$  

Podstawiamy y=1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+1^2=9\\ y=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+1=9\\ y=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=8\\ y=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}\text{lub}x=2\sqrt{2}\\ y=1\end{array}$  

Zatem:

$A=\left(-2\sqrt{2},1\right),B=\left(2\sqrt{2},1\right)$  

---

Prosta k₁ jest styczna do okręgu w punkcie A, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt A, czyli do prostej OA.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OA:

$a_{\text{OA}}=\frac{y_A-y_0}{x_A-x_O}=\frac{1-0}{-2\sqrt{2}-0}=\frac{1}{-2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$  

Proste k₁ i OA są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a_1\cdot a_{\text{OA}}=-1$  

$a_1\cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=-1\mid \cdot \left(-2\sqrt{2}\right)$  

$a_1=2\sqrt{2}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$k_1:y=2\sqrt{2}x+b_1$  

Podstawiając współrzędne punktu A do równania prostej k₁ wyznaczamy b₁:

$1=2\sqrt{2}\cdot \left(-2\sqrt{2}\right)+b_1$  

$1=-8+b_1$  

$9=b_1$  

$b_1=9$  

Otrzymujemy:

$k_1:y=2\sqrt{2}x+9$  

---

Prosta k₂ jest styczna do okręgu w punkcie B, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt B, czyli do prostej OB.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OB:

$a_{\text{OB}}=\frac{y_B-y_0}{x_B-x_O}=\frac{1-0}{2\sqrt{2}-0}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$  

Proste k₂ i OB są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a_2\cdot a_{\text{OB}}=-1$  

$a_2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=-1\mid \cdot 2\sqrt{2}$  

$a_2=-2\sqrt{2}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$k_2:y=-2\sqrt{2}x+b_2$  

Podstawiając współrzędne punktu B do równania prostej k₂ wyznaczamy b₂:

$1=-2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}+b_2$  

$1=-8+b_2$  

$9=b_2$  

$b_2=9$  

Otrzymujemy:

$k_2:y=-2\sqrt{2}x+9$  

---

Zatem szukane styczne mają równania:

$k_1:y=2\sqrt{2}x+9$  

$k_2:y=-2\sqrt{2}x+9$  

---

---

c) Niech proste:

$k_1:y=a_{1}x+b_1$  

$k_2:y=a_{2}x+b_2$  

będą stycznymi do okręgu odpowiednio w punktach A i B.

---

Odczytujemy, że punkty A i B to współrzędne przecięcia prostej x=2 z okręgiem ośrodku w punkcie O=(0, 0) i promieniu 4, czyli okręgu o równaniu:

$x^2+y^2=16$  

Wyznaczamy współrzędne punktów A i B:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ x^2+y^2=16\end{array}$  

Podstawiamy x=2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2\\ 2^2+y^2=16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ 4+y^2=16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y^2=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\sqrt{3}\text{lub}y=2\sqrt{3}\end{array}$  

Zatem:

$A=\left(2,-2\sqrt{3}\right),B=\left(2,2\sqrt{3}\right)$  

---

Prosta k₁ jest styczna do okręgu w punkcie A, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt A, czyli do prostej OA.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OA:

$a_{\text{OA}}=\frac{y_A-y_0}{x_A-x_O}=\frac{-2\sqrt{3}-0}{2-0}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$  

Proste k₁ i OA są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a_1\cdot a_{\text{OA}}=-1$  

$a_1\cdot \left(-\sqrt{3}\right)=-1\mid :\left(-\sqrt{3}\right)$  

$a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$k_1:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b_1$  

Podstawiając współrzędne punktu A do równania prostej k₁ wyznaczamy b₁:

$-2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 2+b_1$  

$\frac{-6\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+b_1$  

$\frac{-8\sqrt{3}}{3}=b_1$  

$b_1=\frac{-8\sqrt{3}}{3}$  

Otrzymujemy:

$k_1:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

---

Prosta k₂ jest styczna do okręgu w punkcie B, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt B, czyli do prostej OB.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OB:

$a_{\text{OB}}=\frac{y_B-y_0}{x_B-x_O}=\frac{2\sqrt{3}-0}{2-0}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  

Proste k₂ i OB są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a_2\cdot a_{\text{OB}}=-1$  

$a_2\cdot \sqrt{3}=-1\mid :\sqrt{3}$  

$a_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$k_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b_2$  

Podstawiając współrzędne punktu B do równania prostej k₂ wyznaczamy b₂:

$2\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 2+b_2$  

$\frac{6\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+b_2$  

$\frac{8\sqrt{3}}{3}=b_2$  

$b_2=\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

Otrzymujemy:

$k_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

---

Zatem szukane styczne mają równania:

$k_1:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

$k_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

---

---

d) Niech proste:

$k_1:y=a_{1}x+b_1$  

$k_2:y=a_{2}x+b_2$  

będą stycznymi do okręgu odpowiednio w punktach A i B.

---

Odczytujemy współrzędne punktu B:

$B=\left(8,4\right)$  

Z rysunku odczytujemy, że prosta AB przechodzi przez punkty C=(4, 2) i B=(8, 4). Wyznaczamy równanie tej prostej:

$\left(y-y_B\right)\left(x_C-x_B\right)-\left(y_C-y_B\right)\left(x-x_B\right)=0$  

$\left(y-4\right)\left(4-8\right)-\left(2-4\right)\left(x-8\right)=0$  

$\left(y-4\right)\cdot \left(-4\right)+2\left(x-8\right)=0\mid :\left(-2\right)$  

$2\left(y-4\right)-\left(x-8\right)=0$  

$2y-8-x+8=0$  

$2y=x\mid :2$  

$y=\frac{1}{2}x$  

---

Odczytujemy, że punkty A i B to współrzędne przecięcia prostej y=¹/₂x z okręgiem ośrodku w punkcie O=(4, 4) i promieniu 4, czyli okręgu o równaniu:

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16$  

Wyznaczamy współrzędne punktów A i B:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

Podstawiamy y=¹/₂x do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{\left(x-4\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^2=16\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-8x+16+\frac{1}{4}{x}^2-4x+16=16\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{4}{x}^2-12x+16=0\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{5}{4}{x}^2-12x+16=0\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$\frac{5}{4}{x}^2-12x+16=0$  

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot 16=144-80=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$x=\frac{12-8}{2\cdot \frac{5}{4}}=\frac{4}{\frac{5}{2}}=\frac{8}{5}\text{lub}x=\frac{12+8}{2\cdot \frac{5}{4}}=\frac{20}{\frac{5}{2}}=\frac{40}{5}=8$  

x=8 odpowiada współrzędnym punktu B, które znamy, więc podstawiamy x=⁸/₅ do drugiego równania w układzie, by wyznaczyć drugą współrzędną punktu A:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{4}{5}\end{array}$  

Zatem:

$A=\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)$  

---

Prosta k₁ jest styczna do okręgu w punkcie A, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt A, czyli do prostej OA.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OA:

$a_{\text{OA}}=\frac{y_A-y_0}{x_A-x_O}=\frac{\frac{4}{5}-4}{\frac{8}{5}-4}=\frac{\frac{4}{5}-\frac{20}{5}}{\frac{8}{5}-\frac{20}{5}}=\frac{-\frac{16}{5}}{-\frac{12}{5}}=\frac{16}{5}\cdot \frac{5}{12}=\frac{4}{3}$  

Proste k₁ i OA są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a_1\cdot a_{\text{OA}}=-1$  

$a_1\cdot \frac{4}{3}=-1\mid \cdot \frac{3}{4}$  

$a_1=-\frac{3}{4}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$k_1:y=-\frac{3}{4}x+b_1$  

Podstawiając współrzędne punktu A do równania prostej k₁ wyznaczamy b₁:

$\frac{8}{5}=-\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}+b_1$  

$\frac{8}{5}=-\frac{3}{5}+b_1$  

$\frac{11}{5}=b_1$  

$b_1=\frac{11}{5}$  

Otrzymujemy:

$k_1:y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{5}$  

---

Prosta k₂ jest styczna do okręgu w punkcie B, więc jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt B, czyli do prostej OB.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej OB:

$a_{\text{OB}}=\frac{y_B-y_0}{x_B-x_O}=\frac{4-4}{8-4}=\frac{0}{4}=0$  

a_OB=0, więc prosta OB jest równoległa do osi x. Prosta k₂ jest do niej prostopadła, czyli jest równoelgła do osi y, ma więc równanie postaci:

$x=p$  

Prosta przechodzi przez punkt B=(8, 4), więc p=8. Zatem:

$k_2:x=8$  

---

Zatem szukane styczne mają równania:

$k_1:y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{5}$  

$k_2:x=8$