Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$r_1=5\text{cm}$  

$r_2=12\text{cm}$  

---

|PO₁|=|AO₁|, więc trójkąt PO₁A jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle AP{O}_1\right|=\left|\sphericalangle O_{1}AP\right|\stackrel{\text{ozn.}}{=}\alpha$  

$\left|\sphericalangle P{O}_{1}A\right|={180}^{\circ }-2\alpha$  

|PO₂|=|BO₂|, więc trójkąt PO₂B jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle BP{O}_2\right|=\left|\sphericalangle AP{O}_1\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle P{O}_{2}B\right|={180}^{\circ }-2\alpha$  

Zatem trójkąty PO₁A i PO₂B są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

$\Delta P{O}_{1}A\sim \Delta P{O}_{2}B$  

Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{\left|P{O}_1\right|}{\left|P{O}_2\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$  

$\frac{r_1}{r_2}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$  

$\frac{5}{12}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$  

---

Nie wiemy, cięciwa którego okręgu ma długość 8 cm, więc rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I - |PA|=8 cm.

Wówczas:

$\frac{5}{12}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$  

$\frac{5}{12}=\frac{8}{\left|PB\right|}$  

$5\left|PB\right|=12\cdot 8$  

$5\left|PB\right|=96\mid :5$  

$\left|PB\right|=19,2\left[\text{cm}\right]$  

---

Przypadek II - |PB|=8 cm.

Wówczas:

$\frac{5}{12}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$  

$\frac{5}{12}=\frac{\left|PA\right|}{8}\mid \cdot 8$  

$\frac{10}{3}=\left|PA\right|$  

$\left|PA\right|=3\frac{1}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Cięciwa drugiego okręgu ma długość 19,2 cm lub 3¹/₃ cm.