Odczytaj z rysunku odpowiednie dane i oblicz...- Zadanie 4.83: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Odległość d punktu P=(x_P, y_P) od prostej o równaniu Ax+By+C=0, gdzie A²+B²≠0, określona jest wzorem:

$d = \frac{∣ A x _{P} + B y _{P} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

Oznaczmy:

h_A - wysokość poprowadzona z wierzchołka A

h_B - wysokość poprowadzona z wierzchołka B

h_C - wysokość poprowadzona z wierzchołka C

a) Odczytujemy z rysunku współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (- 3, 1), B = (4, 1), C = (3, 4)$

Punkty A i B mają tę samą drugą współrzędną, więc możemy również odczytać z rysunku, ile wynosi wysokość h_C:

$h_{C} = 3$

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok AC w postaci ogólnej:

$(y - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) - (y_{C} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - 1) (3 - (- 3)) - (4 - 1) (x - (- 3)) = 0$

$(y - 1) \cdot 6 - 3 (x + 3) = 0 ∣ : (- 3)$

$- 2 (y - 1) + x + 3 = 0$

$- 2 y + 2 + x + 3 = 0$

$x - 2 y + 5 = 0$

Obliczamy wysokość h_B, czyli odległość wierzchołka B=(4, 1) od prostej AC:

$h_{B} = \frac{∣ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 1 + 5 ∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{∣ 4 - 2 + 5 ∣}{1 + 4} = \frac{∣ 7 ∣}{5} = \frac{7}{5} = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{5} = \frac{7 5}{5}$

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok BC w postaci ogólnej:

$(y - y_{B}) (x_{C} - x_{B}) - (y_{C} - y_{B}) (x - x_{B}) = 0$

$(y - 1) (3 - 4) - (4 - 1) (x - 4) = 0$

$(y - 1) \cdot (- 1) - 3 (x - 4) = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$y - 1 + 3 (x - 4) = 0$

$y - 1 + 3 x - 12 = 0$

$3 x + y - 13 = 0$

Obliczamy wysokość h_A, czyli odległość wierzchołka A=(-3, 1) od prostej BC:

$h_{A} = \frac{∣ 3 \cdot ( - 3 ) + 1 \cdot 1 - 13 ∣}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ - 9 + 1 - 13 ∣}{9 + 1} = \frac{∣ - 21 ∣}{10} = \frac{21}{10} = \frac{21}{10} \cdot \frac{10}{10} = \frac{21 10}{10}$

b) Odczytujemy z rysunku współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (- 1, 1), B = (7, 7), C = (- 1, 7)$

Z rysunku odczytujemy, że trójką ABC jest prostokątny oraz, że wysokości h_A i h_B mają długości:

$h_{A} = ∣ A C ∣ = 6$

$h_{B} = ∣ B C ∣ = 8$

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok AB w postaci ogólnej:

$(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - 1) (7 - (- 1)) - (7 - 1) (x - (- 1)) = 0$

$(y - 1) \cdot 8 - 6 (x + 1) = 0 ∣ : (- 2)$

$- 4 (y - 1) + 3 (x + 1) = 0$

$- 4 y + 4 + 3 x + 3 = 0$

$3 x - 4 y + 7 = 0$

Obliczamy wysokość h_C, czyli odległość wierzchołka C=(-1, 7) od prostej AB:

$h_{C} = \frac{∣ 3 \cdot ( - 1 ) - 4 \cdot 7 + 7 ∣}{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = \frac{∣ - 3 - 28 + 7 ∣}{9 + 16} = \frac{∣ - 24 ∣}{25} = \frac{24}{5}$

c) Odczytujemy z rysunku współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (- 2, - 3), B = (5, 2), C = (- 2, 4)$

Punkty A i C mają tę samą pierwszą współrzędną, więc możemy również odczytać z rysunku, ile wynosi wysokość h_B:

$h_{B} = 7$

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok BC w postaci ogólnej:

$(y - y_{B}) (x_{C} - x_{B}) - (y_{C} - y_{B}) (x - x_{B}) = 0$

$(y - 2) (- 2 - 5) - (4 - 2) (x - 5) = 0$

$(y - 2) \cdot (- 7) - 2 (x - 5) = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$7 (y - 2) + 2 (x - 5) = 0$

$7 y - 14 + 2 x - 10 = 0$

$2 x + 7 y - 24 = 0$

Obliczamy wysokość h_A, czyli odległość wierzchołka A=(-2, -3) od prostej BC:

$h_{A} = \frac{∣ 2 \cdot ( - 2 ) + 7 \cdot ( - 3 ) - 24 ∣}{2 ^{2} + 7 ^{2}} = \frac{∣ - 4 - 21 - 24 ∣}{4 + 49} = \frac{∣ - 49 ∣}{53} = \frac{49}{53} = \frac{49}{53} \cdot \frac{53}{53} = \frac{49 53}{53}$

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok AB w postaci ogólnej:

$(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - (- 3)) (5 - (- 2)) - (2 - (- 3)) (x - (- 2)) = 0$

$(y + 3) \cdot 7 - 5 (x + 2) = 0$

$7 y + 21 - 5 x - 10 = 0$

$- 5 x + 7 y + 11 = 0$

Obliczamy wysokość h_C, czyli odległość wierzchołka C=(-2, 4) od prostej AB:

$h_{C} = \frac{∣ - 5 \cdot ( - 2 ) + 7 \cdot 4 + 11 ∣}{( - 5 ) ^{2} + 7 ^{2}} = \frac{∣ 10 + 28 + 11 ∣}{25 + 49} = \frac{∣ 49 ∣}{74} = \frac{49}{74} = \frac{49}{74} \cdot \frac{74}{74} = \frac{49 74}{74}$