a) Sprawdzamy, czy dane wartości sinusa i cosinusa spełniają jedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{3}{25}+\frac{16}{25}=\frac{19}{25}\ne 1$  

Jedynka trygonometryczna nie jest spełniona, więc nie istnieje kąt α spełniający warunki zadania.

---

b) Sprawdzamy, czy dane wartości sinusa i cosinusa spełniają jedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2=\frac{4}{5}+\frac{5}{25}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1$  

Jedynka trygonometryczna jest spełniona, więc istnieje kąt α spełniający warunki zadania.

---

c) Wyznaczamy sinus szukanego kąta:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha$  

$\frac{\sin \alpha }{-\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}\mid \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Sprawdzamy, czy dane wartości sinusa i cosinusa spełniają jedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=\frac{9}{9}=1$  

Jedynka trygonometryczna jest spełniona, więc istnieje kąt α spełniający warunki zadania.

---

d) Sprawdzamy, czy dane wartości sinusa i cosinusa spełniają jedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{8}{17}\right)}^2+{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=\frac{64}{289}+\frac{225}{289}=\frac{289}{289}=1$  

Jedynka trygonometryczna jest spełniona, więc istnieje kąt α spełniający warunki zadania.