$\text{a)}{a}^2+1\ge 2a$  

$a^2-2a+1\ge 0$  

${\left(a-1\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolne liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, co należało dowieść.

---

$\text{b)}4a^2+1\ge 4a$  

$4a^2-4a+1\ge 0$  

${\left(2a\right)}^2-2\cdot 2a\cdot 1+1^2\ge 0$  

${\left(2a-1\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolne liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, co należało dowieść.

---

$\text{c)}-\frac{9}{4}{x}^2+6x-4\le 0\mid \cdot \left(-4\right)$  

$9x^2-24x+16\ge 0$  

${\left(3x\right)}^2-2\cdot 3x\cdot 4+4^2\ge 0$  

${\left(3x-4\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolne liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, co należało dowieść.