$\text{a)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-2x-3$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+2\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)-3=-27+18+6-3=-6\ne 0$  

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-3=-1+2+4-3=0$  

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+1), stosując schemat Hornera.

	1	2	-2	-3
-1		-1	-1	3
	1	1	-3	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x+1\right)=x^2+x-3$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+x-3\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu y=x²+x-3:

$\Delta =1+12=13,\sqrt{\Delta }=\sqrt{13}$  

$x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\text{lub}x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}=-\frac{1-\sqrt{13}}{2}$  

Mamy więc:

$x^2+x-3=\left(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)$  

I wówczas:

$W\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)$  

---

---

$\text{b)}W\left(x\right)=x^3-4x^2+5x-6$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:

$W\left(1\right)=1^3-4\cdot 1^2+5\cdot 1-6=1-4+5-6=-4\ne 0$  

$W\left(2\right)=2^3-4\cdot 2^2+5\cdot 2-6=8-16+10-6=-4\ne 0$  

$W\left(3\right)=3^3-4\cdot 3^2+5\cdot 3-6=27-36+15-6=0$  

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian x-3.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-3), stosując schemat Hornera.

	1	-4	5	-6
3		3	-3	6
	1	-1	2	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x-3\right)=x^2-x+2$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2-x+2\right)$  

Trójmian y=x²-x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta =1-8<0$  

Mamy więc:

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2-x+2\right)$  

---

---

$\text{c)}W\left(x\right)=x^3+3x^2+x-2$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)-2=-8+12-2-2=0$  

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian x+2.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+2), stosując schemat Hornera.

	1	3	1	-2
-2		-2	-2	2
	1	1	-1	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x+2\right)=x^2+x-1$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^2+x-1\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu y=x²+x-1:

$\Delta =1+4=5,\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$  

$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{lub}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}$  

Mamy więc:

$x^2+x-1=\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$  

I wówczas:

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$  

---

---

$\text{d)}W\left(x\right)=x^3+6x^2+4x-16$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W są liczby -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W:

$W\left(-16\right)={\left(-16\right)}^3+6\cdot {\left(-16\right)}^2+4\cdot \left(-16\right)-16=-4096+1536-64-16\ne 0$  

$W\left(-8\right)={\left(-8\right)}^3+6\cdot {\left(-8\right)}^2+4\cdot \left(-8\right)-16=-512+384-32-16\ne 0$  

$W\left(-4\right)={\left(-4\right)}^3+6\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-16=-64+96-16-16=0$  

Liczba -4 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian W jest podzielny przez dwumian x+4.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+4), stosując schemat Hornera.

	1	6	4	-16
-4		-4	-8	16
	1	2	-4	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x+4\right)=x^2+2x-4$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x^2+2x-4\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu y=x²+2x-4:

$\Delta =4+16=20,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{5}$  

$x=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=-1-\sqrt{5}=-\left(1+\sqrt{5}\right)\text{lub}x=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=-1+\sqrt{5}=-\left(1-\sqrt{5}\right)$  

Mamy więc:

$x^2+2x-4=\left(x+1+\sqrt{5}\right)\left(x+1-\sqrt{5}\right)$  

I wówczas:

$W\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x+1+\sqrt{5}\right)\left(x+1-\sqrt{5}\right)$