${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$   ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$    $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$   $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

---

Dowód: (dla a i b, dla których równość ma sens liczbowy)

$\frac{a^3+b^3}{a^3+{\left(a-b\right)}^3}=$  

$=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left[a+\left(a-b\right)\right]\left[a^2-a\left(a-b\right)+{\left(a-b\right)}^2\right]}=$  

$=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left[a+\left(a-b\right)\right]\left(a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2\right)}=$  

$=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left[a+\left(a-b\right)\right]\left(a^2-ab+b^2\right)}=$  

$=\frac{a+b}{a+\left(a-b\right)}$  

c. n. d.

---

a) Obliczamy wartość wyrażenia po lewej stronie równania, korzystając z udowodnionego wzoru:

$\frac{{29}^3+{17}^3}{{29}^3+{12}^3}=\frac{{29}^3+{17}^3}{{29}^3+{\left(29-17\right)}^3}=\frac{29+17}{29+\left(29-17\right)}=\frac{46}{29+12}=\frac{46}{41}$  

Podana równość zachodzi.

---

b) Obliczamy wartość wyrażenia po lewej stronie równania, korzystając z udowodnionego wzoru:

$\frac{{41}^3+{26}^3}{{41}^3+{15}^3}=\frac{{41}^3+{26}^3}{{41}^3+{\left(41-26\right)}^3}=\frac{41+26}{41+\left(41-26\right)}=\frac{67}{41+15}=\frac{67}{56}$  

Podana równość zachodzi.

---

c) Obliczamy wartość wyrażenia po lewej stronie równania, korzystając z udowodnionego wzoru:

$\frac{{57}^3+{31}^3}{{57}^3+{26}^3}=\frac{{57}^3+{31}^3}{{57}^3+{\left(57-31\right)}^3}=\frac{57+31}{57+\left(57-31\right)}=\frac{88}{57+26}=\frac{88}{83}$  

Podana równość zachodzi.