$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$   $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

---

a) Uwaga: Podana równość nie zachodzi. Przyjmijmy:

$a=10$  

$b=9$  

Wówczas:

$10>\sqrt{9}=3$  

I mamy:

$L=\sqrt{10+\sqrt{9}}=\sqrt{10+3}=\sqrt{13}$  

$P=\frac{1}{\sqrt{10-\sqrt{9}}}=\frac{1}{\sqrt{10-3}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$  

Otrzymaliśmy, że:

$L\ne P$  

---

b) Usuwamy niewymierność z mianownika pierwszego ułamka:

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}=\frac{3\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3}=\frac{3\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{2+4}=\frac{3\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{6}=\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{2}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika drugiego ułamka:

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3}=\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{2-4}=\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{-2}=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}{2}$  

Mamy więc:

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{16}}=$  

$=\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{2}-\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}{2}=$  

$=\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{2}=$  

$=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2}\text{c. n. d.}$