Rysunek poglądowy:

---

a) Sprawdzamy, czy punkt A należy do okręgu:

$L={\left(2-1\right)}^2+{\left(-3+6\right)}^2=1^2+3^2=1+9=10=P$  

Punkt A należy do okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka okręgu:

$S=\left(1,-6\right)$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a_{\text{AS}}=\frac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\frac{-6-\left(-3\right)}{1-2}=\frac{-3}{-1}=3$  

Proste k i AS są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AS}}=-1$  

$a\cdot 3=-1\mid :3$  

$a=-\frac{1}{3}$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=-\frac{1}{3}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A, otrzymujemy:

$-3=-\frac{1}{3}\cdot 2+b$  

$-\frac{9}{3}=-\frac{2}{3}+b$  

$-\frac{7}{3}=b$  

$b=-\frac{7}{3}$  

Zatem szukana styczna ma równanie:

$y=-\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$  

---

b) Sprawdzamy, czy punkt A należy do okręgu:

$L={\left(3+1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2=4^2+{\left(-2\right)}^2=16+4=20=P$  

Punkt A należy do okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka okręgu:

$S=\left(-1,2\right)$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a_{\text{AS}}=\frac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\frac{2-0}{-1-3}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$  

Proste k i AS są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AS}}=-1$  

$a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\mid \cdot \left(-2\right)$  

$a=2$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=2x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A, otrzymujemy:

$0=2\cdot 3+b$  

$0=6+b$  

$-6=b$  

$b=-6$  

Zatem szukana styczna ma równanie:

$y=2x-6$  

---

c) Sprawdzamy, czy punkt A należy do okręgu:

$L={\left(5+3\right)}^2+{\left(7-1\right)}^2=8^2+6^2=64+36=100=P$  

Punkt A należy do okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka okręgu:

$S=\left(-3,1\right)$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a_{\text{AS}}=\frac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\frac{1-7}{-3-5}=\frac{-6}{-8}=\frac{3}{4}$  

Proste k i AS są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AS}}=-1$  

$a\cdot \frac{3}{4}=-1\mid \cdot \frac{4}{3}$  

$a=-\frac{4}{3}$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=-\frac{4}{3}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A, otrzymujemy:

$7=-\frac{4}{3}\cdot 5+b$  

$\frac{21}{3}=-\frac{20}{3}+b$  

$\frac{41}{3}=b$  

$b=\frac{41}{3}$  

Zatem szukana styczna ma równanie:

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{41}{3}$  

---

d) Sprawdzamy, czy punkt A należy do okręgu:

$L={\left(1-3\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2={\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2=4+4=8=P$  

Punkt A należy do okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka okręgu:

$S=\left(3,2\right)$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a_{\text{AS}}=\frac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\frac{2-0}{3-1}=\frac{2}{2}=1$  

Proste k i AS są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AS}}=-1$  

$a\cdot 1=-1$  

$a=-1$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=-x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A, otrzymujemy:

$0=-1+b$  

$1=b$  

$b=1$  

Zatem szukana styczna ma równanie:

$y=-x+1$  

---

e) Sprawdzamy, czy punkt A należy do okręgu:

$L={\left(-3+1\right)}^2+{\left(0+2\right)}^2={\left(-2\right)}^2+2^2=4+4=8=P$  

Punkt A należy do okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka okręgu:

$S=\left(-1,-2\right)$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a_{\text{AS}}=\frac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\frac{-2-0}{-1-\left(-3\right)}=\frac{-2}{2}=-1$  

Proste k i AS są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a\cdot a_{\text{AS}}=-1$  

$a\cdot \left(-1\right)=-1\mid :\left(-1\right)$  

$a=1$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A, otrzymujemy:

$0=-3+b$  

$3=b$  

$b=3$  

Zatem szukana styczna ma równanie:

$y=x+3$