a)

$\overrightarrow{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right]=\left[2-\left(-1\right),1-3\right]=\left[3,-2\right]$  

$\overrightarrow{DC}=\left[x_C-x_D,y_C-y_D\right]=\left[5-2,3-5\right]=\left[3,-2\right]$  

$\overrightarrow{AD}=\left[x_D-x_A,y_D-y_A\right]=\left[2-\left(-1\right),5-3\right]=\left[3,2\right]$  

$\overrightarrow{BC}=\left[x_C-x_B,y_C-y_B\right]=\left[5-2,3-1\right]=\left[3,2\right]$  

Otrzymaliśmy:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$  

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$  

Stąd:

$\overrightarrow{AB}\text{||}\overrightarrow{DC}$  

$\overrightarrow{AD}\text{||}\overrightarrow{BC}$  

Wobec tego czworokąt ABCD jest równoległobokiem (może być rombem, jeśli ma boki równej długości).

Mamy:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

Otrzymaliśmy, że:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$  

więc sąsiednie boki równoległoboku ABCD mają równe długości. Oznacza to, że czworokąt ABCD jest rombem.

---

b)

$\overrightarrow{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right]=\left[2-\left(-4\right),0-\left(-2\right)\right]=\left[6,2\right]$  

$\overrightarrow{DC}=\left[x_C-x_D,y_C-y_D\right]=\left[0-\left(-6\right),4-2\right]=\left[6,2\right]$  

$\overrightarrow{AD}=\left[x_D-x_A,y_D-y_A\right]=\left[-6-\left(-4\right),2-\left(-2\right)\right]=\left[-2,4\right]$  

$\overrightarrow{BC}=\left[x_C-x_B,y_C-y_B\right]=\left[0-2,4-0\right]=\left[-2,4\right]$  

Otrzymaliśmy:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$  

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$  

Stąd:

$\overrightarrow{AB}\text{||}\overrightarrow{DC}$  

$\overrightarrow{AD}\text{||}\overrightarrow{BC}$  

Wobec tego czworokąt ABCD jest równoległobokiem (może być rombem, jeśli ma boki równej długości).

Mamy:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$  

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$  

Otrzymaliśmy, że:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|\ne \left|\overrightarrow{AD}\right|$  

więc sąsiednie boki równoległoboku ABCD nie mają równych długości. Oznacza to, że czworokąt ABCD nie jest rombem.