a) Obliczamy długości boków trójkąta:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(2-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(5-4\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

Mamy:

$\left|AB\right|=\left|AC\right|\ne \left|BC\right|,$  

więc trójkąt ABC jest równoramienny.

Sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny:

${\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2+{\left(\sqrt{13}\right)}^2=13+13=26\ne 2={\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left|BC\right|}^2$  

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt nie jest prostokątny.

---

b) Obliczamy długości boków trójkąta:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-2-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-5-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-5-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$  

Mamy:

$\left|AB\right|\ne \left|BC\right|\ne \left|AC\right|,$  

więc trójkąt ABC jest różnoboczny.

Sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny:

${\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{20}\right)}^2=5+20=25={\left(\sqrt{25}\right)}^2={\left|AC\right|}^2$  

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny.

---

c) Obliczamy długości boków trójkąta:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{2^2}=2$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(\sqrt{3}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(\sqrt{3}-0\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

Mamy:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AC\right|,$  

więc trójkąt ABC jest równoboczny.

Trójkąt jest równoboczny, więc nie jest prostokątny.