Oblicz wartość wyrażenia...- Zadanie 13.4: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Wiemy ze wzorów Viete'a, że pierwiastki będą spełniały równania

${x_{1} + x_{2} = \frac{17}{3} x_{1} x_{2} = - \frac{14}{3}$

Stąd

$a) \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{\frac{17}{3}}{- \frac{14}{3}} = - \frac{17}{14} = - 1 \frac{3}{14}$

$b) \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{x _{1}^{2} + 2 x _{1} x _{2} + x _{2}^{2} - 2 x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{( \frac{17}{3} ) ^{2} - 2 \cdot ( - \frac{14}{3} )}{- \frac{14}{3}} = (\frac{289}{9} + \frac{28}{3}) \cdot (- \frac{3}{14}) = (\frac{289}{9} + \frac{84}{9}) \cdot (- \frac{3}{14}) = \frac{373}{9} \cdot (- \frac{3}{14}) = - \frac{373}{42} = - 8 \frac{37}{42}$

$c) \frac{2 x _{1}^{2} + 3 x _{1} x _{2} + 2 x _{2}^{2}}{4 x _{1} x _{2}^{2} + 4 x _{1}^{2} x _{2}} = \frac{2 x _{1}^{2} + 4 x _{1} x _{2} + 2 x _{2}^{2} - x _{1} x _{2}}{4 x _{1} x _{2} ( x _{2} + x _{1} )} = \frac{2 ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - x _{1} x _{2}}{4 x _{1} x _{2} ( x _{2} + x _{1} )} = \frac{2 \cdot ( \frac{17}{3} ) ^{2} + \frac{14}{3}}{4 \cdot ( - \frac{14}{3} ) \cdot \frac{17}{3}} = \frac{2 \cdot \frac{289}{9} + \frac{14}{3}}{4 \cdot ( - \frac{238}{9} )} = \frac{\frac{578}{9} + \frac{42}{9}}{- \frac{952}{9}} = \frac{620}{9} \cdot (- \frac{9}{952}) = - \frac{620}{952} = - \frac{155}{238}$