a) Mamy nierówność

$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\le \left(x-3\right)\mid -\left(x-3\right)$  

$\left(x-3\right)\left(x+1\right)-\left(x-3\right)\le 0$  

$\left(x-3\right)\left(x+1-1\right)\le 0$  

$\left(x-3\right)x\le 0$  

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)x$  

Pierwiastkami wielomianu W(x) są

$x=3,x=0$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in ⟨0,3⟩$  

---

b) Mamy nierówność

$x\left(x^2-x-1\right)>x\mid -x$  

$x\left(x^2-x-1\right)-x>0$  

$x\left(x^2-x-1-1\right)>0$  

$x\left(x^2-x-2\right)>0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{1-3}{2}=-1\text{lub}x=\frac{1+3}{2}=2$  

$x\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0$  

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x-2\right)$  

Pierwiastkami wielomianu W(x) są

$x=0,x=-1,x=2$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in \left(-1,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

c) Mamy nierówność

$x^2\left(x+1\right)>\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\mid -\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$  

$x^2\left(x+1\right)-\left(2x-1\right)\left(x+1\right)>0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)>0$  

$\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2>0$  

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2$  

Pierwiastkami wielomianu W(x) są

$x=-1,x=1$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in \left(-1,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

---

d) Mamy nierówność

$x^2\left(x-3\right)\ge \left(x-3\right)x\mid -\left(x-3\right)x$  

$x^2\left(x-3\right)-\left(x-3\right)x\ge 0$  

$x\left(x-3\right)\left(x-1\right)\ge 0$  

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=x\left(x-3\right)\left(x-1\right)$  

Pierwiastkami wielomianu W(x) są

$x=0,x=3,x=1$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in ⟨0,1⟩\cup ⟨3,+\infty )$  

---

e) Mamy nierówność

${\left(x+2\right)}^2\left(x-1\right)\ge -3\left(x+2\right)\mid +3\left(x+2\right)$  

${\left(x+2\right)}^2\left(x-1\right)+3\left(x+2\right)\ge 0$  

$\left(x+2\right)\left(\left(x+2\right)\left(x-1\right)+3\right)\ge 0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2+x-2+3\right)\ge 0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)\ge 0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$  

$x^2+x+1>0\text{dla kaz˙dego }\xi n\mathbb{R}$   

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)$  

Pierwiastkiem wielomianu W(x) jest

$x=-2$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in ⟨-2,+\infty )$  

---

f) Mamy nierówność

$x^2\left(x+2\right)<2x{\left(x+2\right)}^2\mid -2x{\left(x+2\right)}^2$  

$x^2\left(x+2\right)-2x{\left(x+2\right)}^2<0$  

$x\left(x+2\right)\left(x-2\left(x+2\right)\right)<0$  

$x\left(x+2\right)\left(x-2x-4\right)<0$

$x\left(x+2\right)\left(-x-4\right)<0$

$-x\left(x+2\right)\left(x+4\right)<0\mid \cdot \left(-1\right)$

$x\left(x+2\right)\left(x+4\right)>0$

Przyjmijmy

$W\left(x\right)=x\left(x+2\right)\left(x+4\right)$  

Pierwiastkami wielomianu W(x) są

$x=0,x=-2,x=-4$  

Rysujemy linię znaku wielomianu aby rozwiązać nierówność.

Stąd

$x\in \left(-4,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$