Liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania, więc:

$\{\begin{array}{l}2\cdot 2^3+m\cdot 2^2-13\cdot 2+n=0\\ 2\cdot 3^3+m\cdot 3^2-13\cdot 3+n=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot 8+4m-26+n=0\\ 2\cdot 27+9m-39+n=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}16+4m-26+n=0\\ 54+9m-39+n=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4m+n-10=0\\ 9m+n+15=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4m+n-10=0\\ n=-9m-15\end{array}$  

Podstawiamy n=-9m-15 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}4m-9m-15-10=0\\ n=-9m-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5m-25=0\\ n=-9m-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5m=25\mid :\left(-5\right)\\ n=-9m-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m=-5\\ n=-9m-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m=-5\\ n=-9\cdot \left(-5\right)-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m=-5\\ n=45-15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m=-5\\ n=30\end{array}$  

---

Dla wyznaczonych wartości m i n równanie przyjmuje postać:

$2x^3-5x^2-13x+30=0$  

Liczba 2 jest pierwiastkiem równania, więc jest pierwiastkiem wielomianu

$W\left(x\right)=2x^3-5x^2-13x+30$  

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian jest podzielny przez dwumian x-2.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-2), stosując schemat Hornera.

	2	-5	-13	30
2		4	-2	-30
	2	-1	-15	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x-2\right)=2x^2-x-15$  

Stąd:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x-15\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu y=2x²-x-15:

$\Delta =1+120=121,\sqrt{\Delta }=11$  

$x=\frac{1-11}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}\text{lub}x=\frac{1+11}{4}=\frac{12}{4}=3$  

Zatem trzecim pierwiastkiem wielomianu W (czyli również szukanym pierwiastkiem równania) jest liczba

$-\frac{5}{2}$