Przy dzieleniu wielomianu G przez dwumian...- Zadanie 12.31: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Jeżeli przy dzieleniu wielomianu W przez wielomian P otrzymamy wielomian Q oraz resztę R, to W(x)=Q(x)·P(x)+R(x).

$a) f (x) = x + \frac{4}{x + 1}$

Zapis $\frac{4}{x + 1}$ oznacza, że reszta z dzielenia wielomianu G przez dwumian x+1 jest równa 4, więc:

$a = - 1$

$R (x) = 4$

Wówczas:

$G (x) = f (x) \cdot (x + 1) = (x + \frac{4}{x + 1}) \cdot (x + 1) = x (x + 1) + 4 = x^{2} + x + 4$

$b) f (x) = 5 x + 4 - \frac{2}{x - 1}$

Zapis $- \frac{2}{x - 1}$ oznacza, że reszta z dzielenia wielomianu G przez dwumian x-1 jest równa -2, więc:

$a = 1$

$R (x) = - 2$

Wówczas:

$G (x) = f (x) \cdot (x - 1) = (5 x + 4 - \frac{2}{x - 1}) \cdot (x - 1) = 5 x (x - 1) + 4 (x - 1) - 2 = 5 x^{2} - 5 x + 4 x - 4 - 2 = 5 x^{2} - x - 6$

$c) f (x) = x^{2} - 3 x + 4 - \frac{5}{x + 6}$

Zapis $- \frac{5}{x + 6}$ oznacza, że reszta z dzielenia wielomianu G przez dwumian x+6 jest równa -5, więc:

$a = - 6$

$R (x) = - 5$

Wówczas:

$G (x) = f (x) \cdot (x + 6) = (x^{2} - 3 x + 4 - \frac{5}{x + 6}) \cdot (x + 6) = x^{2} (x + 6) - 3 x (x + 6) + 4 (x + 6) - 5 = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2} - 18 x + 4 x + 24 - 5 = x^{3} + 3 x^{2} - 14 x + 19$

$d) f (x) = x^{3} - 2 - \frac{5}{x + 2}$

Zapis $- \frac{5}{x + 2}$ oznacza, że reszta z dzielenia wielomianu G przez dwumian x+2 jest równa -5, więc:

$a = - 2$

$R (x) = - 5$

Wówczas:

$G (x) = f (x) \cdot (x + 2) = (x^{3} - 2 - \frac{5}{x + 2}) \cdot (x + 2) = x^{3} (x + 2) - 2 (x + 2) - 5 = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4 - 5 = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 9$