Sprawdzamy, czy punkt A należy do danej prostej:

$L=2\cdot 4-3\cdot 0+5=8-0+5=3\ne 0=P$  

Punkt A nie należy do osi symetrii trójkąta, więc jest jednym z wierzchołków przy podstawie.

---

Rysunek poglądowy:

(Przyjmujemy, że odcinek AB jest podstawą trójkąta, a odcinki AC i BC - ramionami).

---

Przekształcamy równanie prostej 2x-3y+5=0 do postaci kierunkowej:

$2x-3y+5=0$  

$3y=2x+5\mid :3$  

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$  

Prosta AB jest prostopadła do prostej y=²/₃x+⁵/₃, więc iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych równy jest -1. Stąd:

$a_{\text{AB}}\cdot \frac{2}{3}=-1\mid \cdot \frac{3}{2}$  

$a_{\text{AB}}=-\frac{3}{2}$  

Prosta AB ma współczynnik kierunkowy -³/₂ i przechodzi przez punkt A=(4, 0), więc możemy zapisać jej równanie, korzystając ze wzoru na równanie prostej o znanym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt:

$y-0=-\frac{3}{2}\left(x-4\right)$  

$y=-\frac{3}{2}x+6$  

---

Wyznaczamy współrzędne środka podstawy AB, czyli punktu S - jest to punkt przecięcia prostej y=²/₃x+⁵/₃ z prostą AB.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\mid \cdot 3\\ y=-\frac{3}{2}x+6\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y=2x+5\mid \cdot 3\\ 2y=-3x+12\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9y=6x+15\\ 4y=-6x+24\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$13y=39\mid :13$  

$y=3$  

Podstawiamy y=3 do pierwszego równania w układzie i wyznaczamy x.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{9}{3}=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}=\frac{2}{3}x\mid \cdot \frac{3}{2}\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=x\\ y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}$  

Zatem:

$S=\left(2,3\right)$  

---

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wyznaczamy współrzędne punktu B:

$\{\begin{array}{l}{x}_S=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=\frac{4+x_B}{2}\mid \cdot 2\\ 3=\frac{0+y_B}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=4+x_B\\ 6=y_B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=0\\ y_B=0\end{array}$  

Zatem:

$B=\left(0,6\right)$  

---

Ramię trójkąta ABC ma długość √26, więc punkt C leży na okręgu o środku w punkcie A=(4, 0) i promieniu r=√26, czyli na okręgu o równaniu:

${\left(x-4\right)}^2+y^2={\left(\sqrt{26}\right)}^2$  

${\left(x-4\right)}^2+y^2=26$  

Wyznaczamy współrzędne punktu C - jest to punkt przecięcia okręgu (x-4)²+y²=26 i prostej y=²/₃x+⁵/₃:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-4\right)}^2+y^2=26\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\end{array}$  

Podstawiamy y=²/₃x+⁵/₃ do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{\left(x-4\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)}^2=26\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

${\left(x-4\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)}^2=26$  

$x^2-8x+16+\frac{4}{9}{x}^2+\frac{20}{9}x+\frac{25}{9}=26\mid \cdot 9$  

$9x^2-72x+144+4x^2+20x+25=234$  

$13x^2-52x-65=0\mid :13$  

$x^2-4x-5=0$  

$\Delta =16+20=36\sqrt{\Delta }=6$  

$x=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{lub}x=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie i obliczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{3}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=\frac{2}{3}\cdot 5+\frac{5}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=\frac{10}{3}+\frac{5}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{3}{3}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=\frac{15}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=5\end{array}$  

Zatem:

$C=\left(-1,1\right)\text{lub}C=\left(5,5\right)$  

---

$\text{Odp.}B=\left(0,6\right),C_1=\left(-1,1\right),C_2=\left(5,5\right).$