Jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, przy czym c jest najdłuższym bokiem, oraz c2<a2+b2, to trójkąt jest ostrokątny; c2=a2+b2, to trójkąt jest prostokątny; c2>a2+b2, to trójkąt jest rozwartokątny.

---

a) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-5-2\right)}^2+{\left(-5-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(5-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{6^2+{10}^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{136}\right)}^2=136$  

${\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{98}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=98+10=108$  

Otrzymujemy:

${\left|BC\right|}^2>{\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest rozwartokątny.

---

b) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-4-2\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(-11-3\right)}^2}=\sqrt{2^2+{\left(-14\right)}^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(4-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-11-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{8^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{200}\right)}^2=200$  

${\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{61}\right)}^2+{\left(\sqrt{145}\right)}^2=61+145=206$  

Otrzymujemy:

${\left|AC\right|}^2<{\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest ostrokątny.

---

c) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-2-6\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-4-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-9-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-15\right)}^2}=\sqrt{9+225}=\sqrt{234}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-4-3\right)}^2+{\left(-9-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{234}\right)}^2=234$  

${\left|AB\right|}^2+\left|BC\right|62={\left(\sqrt{80}\right)}^2+{\left(\sqrt{98}\right)}^2=80+98=178$  

Otrzymujemy:

${\left|AC\right|}^2>{\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest rozwartokątny.

---

d) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-6-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-3-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-4-3\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-6\right)\right)}^2+{\left(-4-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{5^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|AB\right|}^2={\left(\sqrt{52}\right)}^2=52$  

${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{50}\right)}^2+{\left(\sqrt{26}\right)}^2=50+26=76$  

Otrzymujemy:

${\left|AB\right|}^2<{\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest ostrokątny.

---

e) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-1-2\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+0}=\sqrt{9}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(3-2\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{20}\right)}^2=20$  

${\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{9}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=9+5=14$  

Otrzymujemy:

${\left|BC\right|}^2>{\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest rozwartokątny.

---

f) Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(-4-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{6^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(4-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$  

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku i sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

${\left|AC\right|}^2={\left(\sqrt{74}\right)}^2=74$  

${\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left(\sqrt{45}\right)}^2+{\left(\sqrt{65}\right)}^2=45+65=110$  

Otrzymujemy:

${\left|AC\right|}^2<{\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$  

Zatem trójkąt jest ostrokątny.