a)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} 1-\left|x\right|=0 \\ \left|x\right|=1 \end{gathered}$$

Mamy

$1>0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie ma rozwiązanie.

---

b)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \left|x+1\right|+1=0 \\ \left|x+1\right|=-1 \end{gathered}$$

Mamy

$-1<0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.

---

c)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \left|x-3\right|+4=0 \\ \left|x-3\right|=-4 \end{gathered}$$

Mamy

$-4<0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.

---

d)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2+10x+25}+5=0 \\ \sqrt{{\left(x+5\right)}^2}+5=0 \\ \left|x+5\right|+5=0 \\ \left|x+5\right|=-5 \end{gathered}$$

Mamy

$-5<0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.

---

e)

Mamy

$\left|x-1\right|=x-1$

Dla $x>1$ wiemy, że

$x-1>0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie ma rozwiązanie.

---

f)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \left|x\right|+\sqrt{x^2}=-1 \\ \left|x\right|+\left|x\right|=-1 \\ 2\left|x\right|=-1 \\ \left|x\right|=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Mamy

$-\frac{1}{2}<0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.

---

g)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} x+\sqrt{x^2}=-1 \\ x+\left|x\right|=-1 \\ \left|x\right|=-1-x \end{gathered}$$

Zauważmy, że dla $x\le 0$ mamy

$$\begin{gathered} -x=-1-x \\ 0=-1 \end{gathered}$$

Sprzeczność.

Dla $x>0$ mamy

$$\begin{gathered} x=-1-x \\ 2x=-1 \\ x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Sprzeczność.

Stąd wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.

---

h)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2}=0 \\ \left|x\right|=0 \end{gathered}$$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie ma rozwiązanie.

---

i)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \left|x+1\right|-1=0 \\ \left|x+1\right|=1 \end{gathered}$$

Mamy

$1>0$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej wnioskujemy, że równanie ma rozwiązanie.

---

j)

Przekształćmy

$$\begin{gathered} \left|1-x\right|+\sqrt{x^2}=0 \\ \left|1-x\right|+\left|x\right|=0 \end{gathered}$$

Wiemy, że $\left|1-x\right|\ge 0$ oraz $\left|x\right|\ge 0$. Aby było spełnione równanie powinno zachodzić

$$\begin{gathered} \left|1-x\right|=0\wedge \left|x\right|=0 \\ x=1\wedge x=0 \end{gathered}$$

Co jest sprzeczne . Wnioskujemy, że równanie nie ma rozwiązań.