Rozwiąż nierówność...- Zadanie 6.21: Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność

$(1 + 2 x)^{2} > 4 x (x + 2)$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia po lewej stronie otrzymujemy

$1 + 4 x + 4 x^{2} > 4 x^{2} + 8 x - 4 x^{2} 1 + 4 x > 8 x ∣ - 4 x 1 > 4 x 4 x < 1 ∣ : 4 x < \frac{1}{4}$

Rozwiązujemy nierówność

$(2 y - 1)^{2} + 7 \leq (1 + y)^{2} + 3 y^{2}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia po obu strona nierówności otrzymujemy

$4 y^{2} - 4 y + 1 + 7 \leq 1 + 2 y + y^{2} + 3 y^{2} 4 y^{2} - 4 y + 8 \leq 4 y^{2} + 2 y + 1 ∣ - 4 y^{2} - 4 y + 8 \leq 2 y + 1 ∣ - 2 y - 8 - 6 y \leq - 7 ∣ : (- 6) y \geq \frac{7}{6}$

Rozwiązujemy nierówność

$(1 - x)^{2} + 2 x \leq 1 + x^{2}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia po lewej stronie otrzymujemy

$1 - 2 x + x^{2} + 2 x \leq 1 + x^{2} ∣ - 1 - x^{2} - 2 x + 2 x \leq 0 0 \leq 0$

Nierówność jest tożsamościowa, zawsze prawdziwa, stąd

$x \in R$

Rozwiązujemy nierówność

$(x - 2)^{2} - (x - 3) (x + 3) > - 1 - \frac{2 x - 3}{2}$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia po lewej stronie otrzymujemy

$x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 3^{2}) > - 1 - (x - \frac{3}{2}) x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} + 9 > - 1 - x + \frac{3}{2} - 4 x + 13 > \frac{1}{2} - x ∣ + x - 13 - 3 x > - 12 \frac{1}{2} ∣ : (- 3) x < \frac{25}{6}$

Rozwiązujemy nierówność

$(x - 2) (x + 2) + 5 > (x - 6)^{2}$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia po obu stronach nierówności otrzymujemy

$x^{2} - 2^{2} + 5 > x^{2} - 12 x + 36 x^{2} + 1 > x^{2} - 12 x + 36 ∣ - x^{2} + 12 x - 1 12 x > 35 ∣ : 12 x > \frac{35}{12}$

Rozwiązujemy nierówność

$(x - 1)^{2} - 2 (x - 3) > (x + 5) (x - 5)$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia po obu stronach nierówności otrzymujemy

$x^{2} - 2 x + 1 - 2 x + 6 > x^{2} - 5^{2} x^{2} - 4 x + 7 > x^{2} - 5 ∣ - x^{2} - 7 - 4 x > - 12 ∣ : (- 4) x < 3$

Rozwiązujemy nierówność

$(10 p + 9)^{2} - (8 p + 7)^{2} \geq (6 p + 5)^{2} + 5$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia po obu stronach nierówności otrzymujemy

$100 p^{2} + 180 p + 81 - (64 p^{2} + 112 p + 49) \geq 36 p^{2} + 60 p + 25 + 5 100 p^{2} + 180 p + 81 - 64 p^{2} - 112 p - 49 \geq 36 p^{2} + 60 p + 30 36 p^{2} + 68 p + 32 \geq 36 p^{2} + 60 p + 30 ∣ - 36 p^{2} - 60 p - 32 8 p \geq - 2 ∣ : 8 p \geq - \frac{1}{4}$

Rozwiązujemy nierówność

$(8 z + 3) (8 z - 3) + (6 z + 2)^{2} < (10 z + 1) (10 z - 1) + 4 (2 z + 7)$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia po obu stronach nierówności otrzymujemy

$64 z^{2} - 9 + 36 z^{2} + 24 z + 4 < 100 z^{2} - 1 + 8 z + 28 100 z^{2} + 24 z - 5 < 100 z^{2} + 8 z + 27 24 z - 5 < 8 z + 27 ∣ - 8 z + 5 16 z < 32 ∣ : 16 z < 2$