a)
Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że
jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli
gdzie
Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem
Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m2 jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 9. Zapiszmy to
Oznacza to, że liczba n2 jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 9. Skoro m2 i n2 są podzielne przez 9, to liczby n i m są podzielne przez 3. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.
Zatem liczba
jest niewymierna, co należało udowodnić.
b)
Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że
jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli
gdzie
Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem
Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m2 jest podzielna przez 6. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 36. Zapiszmy to
Oznacza to, że liczba n2 jest podzielna przez 6. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 36. Skoro m2 i n2 są podzielne przez 36, to liczby n i m są podzielne przez 6. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.
Zatem liczba
jest niewymierna, co należało udowodnić.
c)
Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że
jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli
gdzie
Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem
Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m2 jest podzielna przez 8. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 64. Zapiszmy to
Oznacza to, że liczba n2 jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 64. Skoro m2 i n2 są podzielne przez 64, to liczby n i m są podzielne przez 8. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.
Zatem liczba
jest niewymierna, co należało udowodnić.
Natalia Wodka
Nauczycielka matematyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

