a)

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że

$\sqrt{3}$

jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli

$\sqrt{3}=\frac{m}{n},$

gdzie

$\text{NWD}\left(n,m\right)=1,m\in {\mathbb{N}}^{+},n\in {\mathbb{N}}^{+}\setminus \left\{1\right\}$

Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem

$$\begin{gathered} 3=\frac{m^2}{n^2} \\ 3n^2=m^2 \end{gathered}$$

Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m² jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 9. Zapiszmy to

$$\begin{gathered} 3n^2=9k,k\in {\mathbb{N}}^{+} \\ {n}^2=3k \end{gathered}$$

Oznacza to, że liczba n² jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 9. Skoro m² i n² są podzielne przez 9, to liczby n i m są podzielne przez 3. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.

Zatem liczba 

$\sqrt{3}$

jest niewymierna, co należało udowodnić.

---

b)

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że 

$\sqrt{6}$

jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli

$\sqrt{6}=\frac{m}{n},$

gdzie

$\text{NWD}\left(n,m\right)=1,m\in {\mathbb{N}}^{+},n\in {\mathbb{N}}^{+}\setminus \left\{1\right\}$

Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem

$$\begin{gathered} 6=\frac{m^2}{n^2} \\ 6n^2=m^2 \end{gathered}$$

Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m² jest podzielna przez 6. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 36. Zapiszmy to

$$\begin{gathered} 6n^2=36k,k\in {\mathbb{N}}^{+} \\ {n}^2=6k \end{gathered}$$

Oznacza to, że liczba n² jest podzielna przez 6. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 36. Skoro m² i n² są podzielne przez 36, to liczby n i m są podzielne przez 6. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.

Zatem liczba 

$\sqrt{6}$

jest niewymierna, co należało udowodnić.

---

c)

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że 

$\sqrt{8}$

jest liczbą wymierną. Zatem możemy zapisać ją w postaci nieskracalnego ułamka, czyli

$\sqrt{8}=\frac{m}{n},$

gdzie

$\text{NWD}\left(n,m\right)=1,m\in {\mathbb{N}}^{+},n\in {\mathbb{N}}^{+}\setminus \left\{1\right\}$

Kwadraty liczb dodatnich są sobie równe, zatem

$$\begin{gathered} 8=\frac{m^2}{n^2} \\ 8n^2=m^2 \end{gathered}$$

Gdy porównamy lewą i prawą stronę to możemy zauważyć, że liczba m² jest podzielna przez 8. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 64. Zapiszmy to

$$\begin{gathered} 8n^2=64k,k\in {\mathbb{N}}^{+} \\ {n}^2=8k \end{gathered}$$

Oznacza to, że liczba n² jest podzielna przez 3. Jako kwadrat liczby naturalnej jest w takim razie podzielna przez 64. Skoro m² i n² są podzielne przez 64, to liczby n i m są podzielne przez 8. Mają zatem wspólny dzielnik. Jest to sprzeczne z założeniem o nieskracalności ułamka.

Zatem liczba 

$\sqrt{8}$

jest niewymierna, co należało udowodnić.