a)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=1$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=3$. Stąd

$x_2=5$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=a\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(3,3\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\left(3-1\right)\left(3-5\right)=3 \\ a\cdot 2\cdot \left(-2\right)=3 \\ -4a=3 \\ a=-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=-\frac{3}{4}\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

---

b)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=3$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=1$. Stąd

$x_2=-1$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(1,-2\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\left(1+1\right)\left(1-3\right)=-2 \\ a\cdot 2\cdot \left(-2\right)=-2 \\ 2a=1 \\ a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(x-3\right)$

---

c)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=0$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=-2$. Stąd

$x_2=-4$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=ax\left(x+4\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(-2,3\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2+4\right)=3 \\ a\cdot \left(-2\right)\cdot 2=3 \\ -4a=3 \\ a=-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x\left(x+4\right)$

---

d)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=4$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=0$. Stąd

$x_2=-4$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=a\left(x-4\right)\left(x+4\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(0,-2\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\cdot \left(-4\right)\cdot 4=-2 \\ -16x=-2 \\ a=\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}\left(x-4\right)\left(x+4\right)$

---

e)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=-2$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=-4$. Stąd

$x_2=-6$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=a\left(x+6\right)\left(x+2\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(-4,-2\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\cdot \left(-4+6\right)\left(-4+2\right)=-2 \\ a\cdot 2\cdot \left(-2\right)=-2 \\ 2a=1 \\ a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+6\right)\left(x+2\right)$

---

f)

Jedno z miejsc zerowych to $x_1=-1$. Drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej strony względem prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, czyli $x=1$. Stąd

$x_2=3$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$

Odczytajmy współrzędne wierzchołka

$W=\left(1,-2\right)$

Skorzystajmy z nich i obliczmy

$$\begin{gathered} a\cdot \left(1+1\right)\left(1-3\right)=-2 \\ a\cdot 2\cdot \left(-2\right)=-2 \\ 2a=1 \\ a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(x-3\right)$