a)

$\stackrel{◯}{1}$ Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$$\begin{gathered} \Delta =2^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-1\right)=4-2=2,\sqrt{\Delta }=\sqrt{2} \\ {x}_1=\frac{-2-\sqrt{2}}{-1}=2+\sqrt{2},x_2=\frac{-2+\sqrt{2}}{-1}=2-\sqrt{2} \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x-2-2\sqrt{2}\right)\left(x-2+\sqrt{2}\right)$

$\stackrel{◯}{2}$ Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

$$\begin{gathered} x_W=-\frac{2}{-1}=2 \\ {y}_W=\frac{-2}{-2}=1 \\ W=\left(2,1\right) \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2+1$

$\stackrel{◯}{3}$ Wiemy, że $a=-\frac{1}{2}<0$, zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu. Wierzchołek ma współrzędną $y_W=1$. Stąd zbiór wartości to

$Y_f=(-\infty ;1⟩$

$\stackrel{◯}{4}$ Naszkicujmy wykres funkcji.

$\stackrel{◯}{5}$ Funkcja jest rosnąca w przedziale

$f\nearrow \text{w}(-\infty ;2⟩$

$\stackrel{◯}{6}$ Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(-\infty ;2-\sqrt{2}\right)\cup \left(2+\sqrt{2};+\infty \right)$ oraz wartości dodatnie dla $x\in \left(2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right)$.

---

b)

Przekształćmy

$f\left(x\right)=2\left(x^2-x+1\right)+6x-2=2x^2-2x+2+6x-2=2x^2+4x$

$\stackrel{◯}{1}$ Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$$\begin{gathered} 2x^2+4x=0 \\ 2x\left(x+2\right)=0 \\ x=0\text{lub}x=-2 \\ {x}_1=0,x_2=-2 \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=2x\left(x+2\right)$

$\stackrel{◯}{2}$ Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

$$\begin{gathered} x_W=\frac{0-2}{2}=-1 \\ {y}_W=f\left(x_W\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)=2-4=-2 \\ W=\left(-1,-2\right) \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2-2$

$\stackrel{◯}{3}$ Wiemy, że $a=2>0$, zatem parabola ma ramiona skierowane do góry. Wierzchołek ma współrzędną $y_W=-2$. Stąd zbiór wartości to

$Y_f=⟨-2;+\infty )$

$\stackrel{◯}{4}$ Naszkicujmy wykres funkcji.

$\stackrel{◯}{5}$ Funkcja jest rosnąca w przedziale

$f\nearrow \text{w}⟨-1;+\infty )$

$\stackrel{◯}{6}$ Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(-2;0\right)$ oraz wartości dodatnie dla $x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(0;+\infty \right)$.