a)

Zauważmy, że

$\left|AB\right|=x-3$

oraz

$\left|BC\right|=x-5$

Zatem

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=\frac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x-5\right)=\frac{1}{2}\left(x^2-3x-5x+15\right)=\frac{1}{2}{x}^2-4x+\frac{15}{2}{\text{cm}}^2$

---

b)

Wiemy, że

$x>0$

Przyrównajmy pole trójkąta do wzoru.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}{x}^2-4x+\frac{15}{2}=24|\cdot 2 \\ {x}^2-8x+15=48|-48 \\ {x}^2-8x-33=0 \end{gathered}$$

Obliczmy

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-33\right)=64+132=196,\sqrt{\Delta }=14$

Otrzymujemy

$x=\frac{8-14}{2}=\frac{-6}{2}=-3<0\text{lub}x=\frac{8+14}{2}=\frac{22}{2}=11>0$

Zatem $x=11\text{cm}$.