Będziemy korzystać z rysunku obok zadania, na którym wprowadzono wszystkie niezbędne oznaczania. Wykorzystamy związki miarowe w trójkącie. W tym zadaniu każdorazowo

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{a}{c},\cos \alpha =\sin \beta =\frac{b}{c},\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b},\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$

---

a)

Mamy w trójkącie

$$\begin{gathered} \sin 45^{\circ }=\frac{a}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{2}} \\ 2a=2\cdot 2 \\ a=2 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\alpha =45^{\circ }\to \beta =90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$

Trójkąt jest równoramienny, a zatem

$b=a=2$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=b=2,c=2\sqrt{2}, \\ \alpha =\beta =45^{\circ } \end{gathered}$$

---

b)

Mamy w trójkącie

$$\begin{gathered} \sin 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{c} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{c} \\ \sqrt{3}c=10\sqrt{3} \\ c=10 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\beta =60^{\circ }\to \alpha =90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

Trójkąt jest prostokątny zatem z twierdzenia Pitagorasa

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ {a}^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=10^2 \\ {a}^2+75=100 \\ {a}^2=25,a>0 \\ a=5 \end{gathered}$$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=5,b=5\sqrt{3},c=10, \\ \alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ } \end{gathered}$$

---

c)

Mamy w trójkącie

$$\begin{gathered} \sin 30^{\circ }=\frac{6}{c} \\ \frac{1}{2}=\frac{6}{c} \\ c=12 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\alpha =30^{\circ }\to \beta =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

Trójkąt jest prostokątny zatem z twierdzenia Pitagorasa

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ {6}^2+b^2=12^2 \\ 36+b^2=144 \\ {b}^2=108,b>0 \\ b=6\sqrt{3} \end{gathered}$$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=6,b=6\sqrt{3},c=12, \\ \alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ } \end{gathered}$$

---

d)

Trójkąt jest prostokątny zatem z twierdzenia Pitagorasa

$$\begin{gathered} c^2=a^2+b^2 \\ {c}^2={\left(8\sqrt{3}\right)}^2+24^2 \\ {c}^2=192+576 \\ {c}^2=786,c>0 \\ c=16\sqrt{3} \end{gathered}$$

Mamy w trójkącie

$\sin \alpha =\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$

A więc

$\alpha =30^{\circ }$

Zauważmy, że

$\alpha =30^{\circ }\to \beta =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=8\sqrt{3},b=24,c=16\sqrt{3}, \\ \alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ } \end{gathered}$$

---

e)

Skoro

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$

to

$\alpha =30^{\circ }$

Zauważmy, że

$\alpha =30^{\circ }\to \beta =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

Mamy w trójkącie

$$\begin{gathered} \sin 30^{\circ }=\frac{a}{18} \\ \frac{1}{2}=\frac{a}{18} \\ a=9 \end{gathered}$$

Trójkąt jest prostokątny zatem z twierdzenia Pitagorasa

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ {9}^2+b^2=18^2 \\ 81+b^2=324 \\ {b}^2=243,b>0 \\ b=9\sqrt{3} \end{gathered}$$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=9,b=9\sqrt{3},c=18, \\ \alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ } \end{gathered}$$

---

f)

Skoro

$\cos \alpha =\frac{1}{2}$

to

$\alpha =60^{\circ }$

Zauważmy, że

$\alpha =60^{\circ }\to \beta =90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

Mamy w trójkącie

$$\begin{gathered} \cos 60^{\circ }=\frac{12}{c} \\ \frac{1}{2}=\frac{12}{c} \\ c=24 \end{gathered}$$

Trójkąt jest prostokątny zatem z twierdzenia Pitagorasa

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ {a}^2+12^2=24^2 \\ {a}^2+144=576 \\ {a}^2=432,a>0 \\ a=12\sqrt{3} \end{gathered}$$

Podsumowując

$$\begin{gathered} a=12\sqrt{3},b=12,c=24, \\ \alpha =60^{\circ },\beta =30^{\circ } \end{gathered}$$