a)

Przekształćmy układ.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}4x-6y+5=0|-5\\ 3x+y=x+11|-x\end{array} \\ \{\begin{array}{l}4x-6y=-5\\ 2x+y=11\end{array} \end{gathered}$$

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}4& -6\\ 2& 1\end{array}\right|=4\cdot 1-(-6)\cdot 2=4+12=16$

Skoro $W\ne 0$ układ ma rozwiązanie.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_x=\left|\begin{array}{cc}-5& -6\\ 11& 1\end{array}\right|=(-5)\cdot 1-(-6)\cdot 11=-5+66=61 \\ {W}_y=\left|\begin{array}{cc}4& -5\\ 2& 11\end{array}\right|=4\cdot 11-(-5)\cdot 2=44+10=54 \end{gathered}$$

Obliczmy ze wzoru rozwiązanie.

$$\begin{gathered} x=\frac{W_x}{W}=\frac{61}{16} \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{54}{16}=\frac{27}{8} \end{gathered}$$

---

b)

Przekształćmy układ.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}4x+t=2\\ 8z-5=-3t|+5+3t\end{array} \\ \{\begin{array}{l}4x+t=2\\ 8z+3t=5\end{array} \end{gathered}$$

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 8& 3\end{array}\right|=4\cdot 3-1\cdot 8=12-8=4$

Skoro $W\ne 0$ układ ma rozwiązanie.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_z=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-1\cdot 5=6-5=1 \\ {W}_t=\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 5\end{array}\right|=4\cdot 5-2\cdot 8=20-16=4 \end{gathered}$$

Obliczmy ze wzoru rozwiązanie.

$$\begin{gathered} z=\frac{W_z}{W}=\frac{1}{4} \\ t=\frac{W_t}{W}=\frac{4}{4}=1 \end{gathered}$$

---

c)

Przekształćmy układ.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}3u+2v=1\\ 9u+6v-3=0|+3\end{array} \\ \{\begin{array}{l}3u+2v=1\\ 9u+6v=3\end{array} \end{gathered}$$

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 9& 6\end{array}\right|=3\cdot 6-2\cdot 9=18-18=0$

Skoro $W=0$ układ może ma rozwiązanie lub jest sprzeczny.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_u=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right|=1\cdot 6-2\cdot 3=6-6=0 \\ {W}_v=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 9& 3\end{array}\right|=3\cdot 3-1\cdot 9=9-9=0 \end{gathered}$$

Zatem skoro $W_x=W_y=0$ układ ma niekończenie wiele rozwiązań. Mamy

$$\begin{gathered} 3u+2v=1|-2v \\ 3u=1-2v|:3 \\ u=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}v,v\in \mathbb{R} \end{gathered}$$

---

d)

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ -6& 2\end{array}\right|=3\cdot 2-\left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=6-6=0$

Skoro $W=0$ układ może ma rozwiązanie lub jest sprzeczny.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_x=\left|\begin{array}{cc}7& -1\\ 5& 2\end{array}\right|=7\cdot 2-\left(-1\right)\cdot 5=14+5=19 \\ {W}_y=\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ -6& 5\end{array}\right|=3\cdot 5-7\cdot \left(-6\right)=15+42=57 \end{gathered}$$

Skoro $W_x\ne 0$ (również $W_y\ne 0$) to układ nie ma rozwiązań.

---

e)

Przekształćmy układ.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{rlr}& \frac{x}{2}-\frac{y}{3}=8& |\cdot 6\\ & \frac{x}{2}+\frac{y}{4}=15& |\cdot 4\end{array} \\ \{\begin{array}{l}3x-2y=48\\ 2x+y=60\end{array} \end{gathered}$$

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-\left(-2\right)\cdot 2=3+4=7$

Skoro $W\ne 0$ układ ma rozwiązanie.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_x=\left|\begin{array}{cc}48& -2\\ 60& 1\end{array}\right|=48\cdot 1-\left(-2\right)\cdot 60=48+120=168 \\ {W}_y=\left|\begin{array}{cc}3& 48\\ 2& 60\end{array}\right|=3\cdot 60-48\cdot 2=180-96=84 \end{gathered}$$

Obliczmy ze wzoru rozwiązanie.

$$\begin{gathered} x=\frac{W_x}{W}=\frac{168}{7}=24 \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{84}{7}=12 \end{gathered}$$

---

f)

Obliczmy wyznacznik główny układu równań.

$W=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right|=2\cdot \left(-2\right)-\left(-1\right)\cdot 4=-4+4=0$

Skoro $W=0$ układ może ma rozwiązanie lub jest sprzeczny.

Obliczmy pozostałe wykładniki.

$$\begin{gathered} W_x=\left|\begin{array}{cc}5& -1\\ 3& -2\end{array}\right|=5\cdot \left(-2\right)-\left(-1\right)\cdot 3=-10+3=-7 \\ {W}_y=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-5\cdot 4=6-20=-14 \end{gathered}$$

Skoro $W_x\ne 0$ (również $W_y\ne 0$) to układ nie ma rozwiązań.