Założenie:

$x\in \left(-5;5\right)$

Teza:

$\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+10+25}=10$

Zauważmy, że

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{{\left(x-5\right)}^2}=\left|x-5\right| \\ \sqrt{x^2+10x+25}=\sqrt{{\left(x+5\right)}^2}=\left|x+5\right| \end{gathered}$$

Dowód:

Ponieważ

$\left|x-5\right|=\{\begin{array}{ll}x-5,& \text{gdy }x\ge 5\\ -x+5,& \text{gdy }x<5\end{array}$

oraz

$\left|x+5\right|=\{\begin{array}{ll}x+5,& \text{gdy }x\ge -5\\ -x-5,& \text{gdy }x<-5\end{array}$

oraz z założenia $x\in \left(-5;5\right)$, mamy

$$\begin{gathered} \left|x-5\right|=-x+5 \\ \left|x+5\right|=x+5 \end{gathered}$$

Zatem

$\left|x-5\right|+\left|x+5\right|=-x+5+x+5=10$

co należało udowodnić.