a)

Odczytujemy, że mamy dwa symetrycznie położone punkty o współrzędnych

$P_1=\left(1,1\right),P_2=\left(-1,1\right)$

Są symetryczne względem prostej

$x=0$

Zatem jest to oś symetrii paraboli. Stąd $x_W=0$, czyli $p=0$. Korzystając z pierwszego punktu i postaci kanonicznej funkcji kwadratowej mamy

$$\begin{gathered} a{\left(-1-0\right)}^2+q=1 \\ a+q=1 \end{gathered}$$

Korzystając z $P_2$ otrzymamy tą samą zależność. Odczytajmy inny zaznaczony na wykresie punkt.

$Q_1=\left(3,5\right)$

Stąd

$$\begin{gathered} a{\left(3-0\right)}^2+q=5 \\ 9a+q=5 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy układ równań

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}a+q=1|-a\\ 9a+q=5\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=1-a\\ 9a+q=5\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=1-a\\ 9a+1-a=5|-1\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=1-a\\ 8a=4|:8\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=1-a\\ a=\frac{1}{2}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=\frac{1}{2}\\ a=\frac{1}{2}\end{array} \end{gathered}$$

Wzór tej funkcji ma postać

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}$

---

b)

Odczytujemy, że mamy dwa symetrycznie położone punkty o współrzędnych

$P_1=\left(-2,-2\right),P_2=\left(4,-2\right)$

Są symetryczne względem prostej

$x=1$

Zatem jest to oś symetrii paraboli. Stąd $x_W=1$, czyli $p=1$. Korzystając z pierwszego punktu i postaci kanonicznej funkcji kwadratowej mamy

$$\begin{gathered} a{\left(-2-1\right)}^2+q=-2 \\ 9a+q=-2 \end{gathered}$$

Korzystając z $P_2$ otrzymamy tą samą zależność. Odczytajmy inny zaznaczony na wykresie punkt.

$Q_1=\left(5,-6\right)$

Stąd

$$\begin{gathered} a{\left(5-1\right)}^2+q=-6 \\ 16a+q=-6 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy układ równań

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}9a+q=-2|-9a\\ 16a+q=-6\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-2-9a\\ 16a+q=-6\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-2-9a\\ 16a-2-9a=-6|+2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-2-9a\\ 7a=-4|:7\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-2-9a\\ a=-\frac{4}{7}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-2+\frac{36}{7}\\ a=-\frac{4}{7}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=\frac{22}{7}\\ a=-\frac{4}{7}\end{array} \end{gathered}$$

Wzór tej funkcji (w postaci kanonicznej) ma postać

$f\left(x\right)=-\frac{4}{7}{\left(x-1\right)}^2+\frac{22}{7}$

---

c)

Odczytujemy, że mamy dwa symetrycznie położone punkty o współrzędnych

$P_1=\left(-3,2\right),P_2=\left(5,2\right)$

Są symetryczne względem prostej

$x=1$

Zatem jest to oś symetrii paraboli. Stąd $x_W=1$, czyli $p=1$. Korzystając z pierwszego punktu i postaci kanonicznej funkcji kwadratowej mamy

$$\begin{gathered} a{\left(-3-1\right)}^2+q=2 \\ 16a+q=2 \end{gathered}$$

Korzystając z $P_2$ otrzymamy tą samą zależność. Odczytajmy inny zaznaczony na wykresie punkt.

$Q_1=\left(-1,-2\right)$

Stąd

$$\begin{gathered} a{\left(-1-1\right)}^2+q=-2 \\ 4a+q=-2 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy układ równań

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}16a+q=2|-16a\\ 4a+q=-2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=2-16a\\ 4a+q=-2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=2-16a\\ 4a+2-16a=-2|-2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=2-16a\\ -12a=-4|:(-12)\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=2-16a\\ a=\frac{1}{3}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=2-\frac{16}{3}\\ a=\frac{1}{3}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}q=-3\frac{1}{3}\\ a=\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Wzór tej funkcji (w postaci kanonicznej) ma postać

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^2-3\frac{1}{3}$