a)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta ={\left(-3,5\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 0=12,25,\sqrt{\Delta }=3,5$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$x_1=\frac{3,5-3,5}{-1}=0,x_2=\frac{3,5+3,5}{-1}=-7$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x-0\right)\left(x+7\right)=-\frac{1}{2}x\left(x+7\right)$

Zauważmy, że można było tu też zmienić postać poprzez przekształcenie

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-3,5x=-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}\cdot 7x=-\frac{1}{2}x\left(x+7\right)$

---

b)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$

Ze względu na ujemny znak wyróżnika stwierdzamy, że funkcja nie ma miejsc zerowych i nie możemy jej zapisać w postaci iloczynowej.

---

c)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta =6^2-4\cdot \left(-1\right)\left(-9\right)=36-36=0$

Obliczmy miejsce zerowe funkcji kwadratowej.

$x_0=-\frac{6}{-2}=3$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2$

Zauważmy, że można było tu też skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

---

d)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$x_1=\frac{-2-8}{2}=\frac{-10}{2}=-5,x_2=\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=3$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$

---

e)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=1,\sqrt{\Delta }=1$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$x_1=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2},x_2=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$

Zauważmy, że można było tu też skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

---

f)

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta =0^2-4\cdot 2\cdot 8=-64<0$

Funkcja nie ma miejsc zerowych i nie możemy jej zapisać w postaci iloczynowej.

---

g)

W zadaniu można skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej lub doprowadzić ją do postaci ogólnej i skorzystać ze wzorów. Przekształćmy

$f\left(x\right)=3{\left(x-1\right)}^2-3=3\left(x^2-2x+1\right)-3=3x^2-6x+3-3=3x^2-6x$

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 3\cdot 0=36,\sqrt{\Delta }=6$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$x_1=\frac{6-6}{6}=0,x_2=\frac{6+6}{6}=2$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=3\left(x-0\right)\left(x-2\right)=3x\left(x-2\right)$

Zauważmy, że można było tu też zmienić postać poprzez przekształcenie

$f\left(x\right)=3x^2-6x=3x\left(x-2\right)$

---

h)

W zadaniu można skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej lub doprowadzić ją do postaci ogólnej i skorzystać ze wzorów. Przekształćmy

$f\left(x\right)=-\sqrt{2}{\left(x+2\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\left(x^2+4\sqrt{2}x+8\right)+2\sqrt{2}=-\sqrt{2}{x}^2-8x-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}=-\sqrt{2}{x}^2-8x-6\sqrt{2}$

Obliczmy wyróżnik.

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot \left(-\sqrt{2}\right)\left(-6\sqrt{2}\right)=64-4\cdot 6\cdot 2=64-48=16,\sqrt{\Delta }=4$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

$x_1=\frac{8-4}{-2\sqrt{2}}=-\frac{4}{2\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2},x_2=\frac{8+4}{-2\sqrt{2}}=\frac{12}{-2\sqrt{2}}=-\frac{6}{\sqrt{2}}=-\frac{6\sqrt{2}}{2}=-3\sqrt{2}$

Możemy tą funkcję zapisać w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=-\sqrt{2}\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+3\sqrt{2}\right)$