a)

Zastosujmy podstawienie

$t=x-1$

Równanie ma postać

$t^2+6t+9=0$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

${\left(t+3\right)}^2=0$

Stąd

$$\begin{gathered} t+3=0 \\ t=-3 \end{gathered}$$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} x-1=-3 \\ x=-2 \end{gathered}$$

---

b)

Zastosujmy podstawienie

$t=\frac{x}{2}$

Równanie ma postać

$9t^2-6t-8=0$

Obliczmy wyróżnik tego równania

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 9\cdot \left(-8\right)=36+288=324,\sqrt{\Delta }=18$

Rozwiązania

$t_1=\frac{6-18}{18}=\frac{-12}{18}=-\frac{2}{3}$

lub

$t_2=\frac{6+18}{18}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} \frac{x}{2}=-\frac{2}{3}\text{lub}\frac{x}{2}=\frac{4}{3} \\ x=-\frac{4}{3}\text{lub}x=\frac{8}{3} \end{gathered}$$

---

c)

Zastosujmy podstawienie

$t=\frac{x-1}{3}$

Równanie ma postać

$4t^2+4t-15=0$

Obliczmy wyróżnik tego równania

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot \left(-15\right)=16+16\cdot 15=16\cdot 16,\sqrt{\Delta }=16$

Rozwiązania

$t_1=\frac{-4-16}{8}=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}$

lub

$t_2=\frac{-4+16}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} \frac{x-1}{3}=-\frac{5}{2}\text{lub}\frac{x-1}{3}=\frac{3}{2} \\ x-1=-\frac{15}{2}\text{lub}x-1=\frac{9}{2} \\ x=-\frac{13}{2}\text{lub}x=\frac{11}{2} \end{gathered}$$

---

d)

Zastosujmy podstawienie

$t=\frac{x-7}{3}$

Równanie ma postać

$t^2-10t-24=0$

Przekształćmy je.

$$\begin{gathered} t^2-10t-24=0|+49 \\ {t}^2-10t+25=49 \end{gathered}$$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy

${\left(t-5\right)}^2=49$

Stąd

$$\begin{gathered} t-5=-7\text{lub}t-5=7 \\ t=-2\text{lub}t=12 \end{gathered}$$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} \frac{x-7}{3}=-2\text{lub}\frac{x-7}{3}=12 \\ x-7=-6\text{lub}x-7=36 \\ x=1\text{lub}x=43 \end{gathered}$$

---

e)

Zastosujmy podstawienie

$t=x+\frac{1}{2}$

Równanie ma postać

$$\begin{gathered} t^2-8t+15=0|+1 \\ {t}^2-8t+16=1 \end{gathered}$$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy

${\left(t-4\right)}^2=1$

Stąd

$$\begin{gathered} t-4=-1\text{lub}t-4=1 \\ t=3\text{lub}t=5 \end{gathered}$$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{2}=3\text{lub}x+\frac{1}{3}=5 \\ x=2,5\text{lub}x=4,5 \end{gathered}$$

---

f)

Zastosujmy podstawienie

$t=x-\sqrt{2}$

Równanie ma postać

$$\begin{gathered} 25t^2-20t-12=0|+16 \\ 25t^2-20t+4=16 \end{gathered}$$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy

${\left(5t-2\right)}^2=16$

Stąd

$$\begin{gathered} 5t-2=-4\text{lub}5t-2=4 \\ 5t=-2\text{lub}5t=6 \\ t=-\frac{2}{5}\text{lub}t=\frac{6}{5} \end{gathered}$$

Wracając do podstawienia otrzymujemy

$$\begin{gathered} x-\sqrt{2}=-\frac{2}{5}\text{lub}x-\sqrt{2}=\frac{6}{5} \\ x=\sqrt{2}-\frac{2}{5}\text{lub}x=\sqrt{2}+\frac{6}{5} \end{gathered}$$