Z treści zadania wiemy, że dwa wierzchołki prostokąta (niech będą to punkty E i F) leżą na prostej AB, gdzie:

$A\left(-1,4\right),B\left(1,4\right)$

Pozostałe dwa wierzchołki (niech będą to punkty C i D) leżą na paraboli o równaniu:

$y=2x^2+2$

---

Prosta AB jest równoległa do osi OX i ma równanie:

$y=4$  

---

Jeżeli dwa wierzchołki leżą na prostej AB, to mają współrzędne postaci: 

$E\left(a,4\right),F\left(-a,4\right)$  

Natomiast pozostałe dwa wierzchołki, to:

$D\left(a,2a^2+2\right),C\left(-a,2a^2+2\right)$  

---

Pole prostokąta CDEF możemy obliczyć ze wzoru:

$P=\left|DE\right|\cdot \left|FE\right|$

gdzie:

$\left|DE\right|=4-\left(2a^2+2\right)=4-2a^2-2=2-2a^2$   

$\left|FE\right|=a+a=2a$

---

założenia:

$2a>0\wedge 2-2a^2>0$  

$a>0a^2<1$

$\left|a\right|<1$

$a<1\wedge a>-1$

$a\in \left(0,1\right)$    

---

Zapisujemy wzór funkcji P opisującej pole prostokąta CDEF w zależności od zmiennej a:

$P\left(a\right)=2a\cdot \left(2-2a^2\right)=4a-4a^3,a\in \left(0,1\right)$

Wyznaczamy pochodną funkcji P:

$P{}^{\prime }\left(a\right)=-12a^2+4,a\in \left(0,1\right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne:

$P{}^{\prime }\left(a\right)=0\text{gdy}-12a^2+4=0$

Rozwiązujemy równanie:

$-12a^2+4=0\mid -4$

$-12a^2=-4\mid :\left(-12\right)$

$a^2=\frac{4}{12}$

$a^2=\frac{1}{3}\mid \sqrt{},a\in \left(0,1\right)$

$a=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$       

---

Odczytujemy, że:

$P{}^{\prime }\left(a\right)>0\text{gdy}a\in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$P{}^{\prime }\left(a\right)<0\text{gdy}a\in \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$   

Wobec tego funkcja P jest rosnąca w przedziale (0, ^√3/₃) oraz malejąca w przedziale (^√3/₃, 1), zatem

przyjmuje wartość największą dla a=^√3/₃.

---

Wyznaczamy wymiary prostokąta:

$\left|DE\right|=2-2\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=2-2\cdot \frac{3}{9}=2-2\cdot \frac{1}{3}=2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$   

$\left|FE\right|=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Wymiary prostokąta, to ^2√3/₃ x ⁴/₃.

---

Obliczamy pole prostokąta spełniającego warunki zadania:

$P\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}-4\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{4\sqrt{3}}{3}-4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{27}=$

$=\frac{36\sqrt{3}}{27}-\frac{12\sqrt{3}}{27}=\frac{24\sqrt{3}}{27}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$