Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum.   1. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) > 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) < 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 maksimum.   2. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) < 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) > 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 minimum.

---

Z treści zadania wiemy, że:

$f\left(x\right)=-2x^3+15x^2,x\in \mathbb{R}$  

---

---

a)

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-6x^2+30x,x\in \mathbb{R}$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\text{gdy}-6x^2+30x=0$

Rozwiązujemy równanie:

$-6x^2+30x=0\mid :6$

$-x^2+5x=0$

$-x\left(x-5\right)=0$

$x=0\text{lub}x=5$

 

Z wykresu funkcji odczytujemy, że:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(0,5\right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(5,\infty \right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = 0 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀ = 0 równe:

$f\left(0\right)=-2\cdot 0^3+15\cdot 0^2=0$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = 5 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀ = 5 równe: 

$f\left(5\right)=-2\cdot 5^3+15\cdot 5^2=-250+375=125$  

UWAGA! W odpowiedziach została podana błędna odpowiedź dotycząca maksimum lokalnego.

---

---

b)

$a_n=-2n^3+15n^2,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Pochodna funkcji f' zmienia znak najpierw z ujemnego na dodatni, a później z dodatniego na ujemny.

Zatem najpierw ciąg rośnie, a później maleje (tak samo jak funkcja f).

Wobec tego największy wyraz ciągu, to argument dla którego funkcja f przyjmuje maksimum lokalne. 

Zatem jest to wyraz piąty ciągu:

$a_5=-2\cdot 5^3+15\cdot 5^2=125$  

UWAGA! W odpowiedziach została podana błędna odpowiedź wynikająca z błędnej odpowiedzi w ppkt a).