Z treści zadania wiemy, że:

$f\left(x\right)=x^3+6x^2-15x+4$

Należy wyznaczyć równania prostych stycznych do wykresu funkcji f oraz równoległych do osi OX.

---

Jeżeli proste mają być równoległe do osi OX, to znaczy że są styczne do wykresu funkcji f w punktach

o współrzędnych: (x_0, y₀) oraz współczynnik kierunkowy tych prostych ma wartość 0, więc:

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)=0$

Wtedy równania prostych będą postaci:

$y=\underset{0\cdot \left(x-x_0\right)=0}{\underbrace{f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)}}+f\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$  

---

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+12x-15$

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=0\text{gdy}3x_0^2+12x_0-15=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$3x_0^2+12x_0-15=0$      

$3x_0^2-3x_0+15x_0-15=0$  

$3x_0\left(x_0-1\right)+15\left(x_0-1\right)=0$  

$\left(3x_0+15\right)\left(x_0-1\right)=0$  

$3\left(x_0+5\right)\left(x_0-1\right)=0$

$x_0=-5\text{lub}{x}_0=1$

Wtedy:

$f\left(-5\right)={\left(-5\right)}^3+6\cdot {\left(-5\right)}^2-15\cdot \left(-5\right)+4=-125+150+75+4=104$

$f\left(1\right)=1^3+6\cdot 1^2-15\cdot 1+4=1+6-15+4=-4$     

---

Wnioskujemy, że równania stycznych do wykresu funkcji f możemy zapisać w postaci:

$y=104,y=-4$