Niech:

$\left|AB\right|=\left|CD\right|=a$

$\left|AD\right|=\left|BC\right|=b$

wtedy trójkąt QBA jest trójkątem równobocznym o boku długości a,

trójkąt PAD jest trójkątem równobocznym o boku długości b. 

Rozważmy trójkąty : PDC, CBQ i QAP. 

Zauważmy, że:

$\left|PD\right|=\left|BC\right|=\left|AP\right|=b$

oraz

$\left|CD\right|=\left|BQ\right|=\left|AQ\right|=a$

Ponadto:

$\left|\sphericalangle PDC\right|={60}^{\circ }+{90}^{\circ }={150}^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBQ\right|={60}^{\circ }+{90}^{\circ }={150}^{\circ }$

$\left|\sphericalangle QAP\right|={360}^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{90}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)={360}^{\circ }-{210}^{\circ }={150}^{\circ }$

Otrzymaliśmy więc, że trójkąty PDC, CBQ i QAP mają dwa boki równej długości i kąt równej miary między tymi bokami, zatem na mocy cechy przystawania bok-kąt-bok, te trójkąty są przystające.

Z przystawania tych trójkątów dostajemy:

$\left|PC\right|=\left|CQ\right|=\left|PQ\right|$

czyli trójkąt PQC jest równoboczny. 

 

c.n.d.