Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Odcinek AD jest wysokością trójkąta równobocznego ABC, zatem:

$\left|AD\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Odcinek ED stanowi 1/3 wysokości trójkąta ABC, więc:

$\left|ED\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|AD\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

---

Przyjrzyjmy się rysunkowi:

Wiemy, że środek kul wpisanej w ten ostrosłup jest punktem znajdującym się na

wysokości ostrosłupa oraz dwusiecznej kąt ADS.

Korzystając z funkcji trygonometrycznej cotangens dla trójkąta EDH dostajemy:

$\text{ctg}\alpha =\frac{\left|ED\right|}{r}$

$\text{ctg}\alpha =\frac{a\sqrt{3}}{6r}$

$a=\frac{6r}{\sqrt{3}}\text{ctg}\alpha$

$a=2\sqrt{3}r\text{ctg}\alpha$     

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens dla trójkata EDS dostajemy:

$\text{tg}2\alpha =\frac{H}{\left|ED\right|}$  

$H=\frac{a\sqrt{3}}{6}\text{tg}2\alpha$

$H=\frac{2\sqrt{3}r\text{ctg}\alpha \sqrt{3}}{6}\text{tg}2\alpha$   

$H=r\text{ctg}\alpha \text{tg}2\alpha$  

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot r\text{ctg}\alpha \text{tg}2\alpha =$   

$=\frac{12r^2{\text{ctg}}^2\alpha \cdot \sqrt{3}}{12}\cdot r\text{ctg}\alpha \text{tg}2\alpha =$  

$=\sqrt{3}{r}^3{\text{ctg}}^3\alpha \text{tg}2\alpha$