Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Zauważamy, że jeśli każda ściana boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o równej mierze (𝛽), to

odległość spodka wysokości od każdej krawędzi podstawy jest taka sama.

Wnioskujemy, że spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

Pamiętamy, że jeśli r jest długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt, to w przypadku okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny mamy:

$r=\frac{a+b-c}{2}$

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinus dla trójkąta ABC dostajemy:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}$

$b=c\cos \alpha$

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus dla trójkąta ABC dostajemy:   

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

$a=c\sin \alpha$

---

Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC:

$r=\frac{c\sin \alpha +c\cos \alpha -c}{2}=\frac{c\left(\sin \alpha +\cos \alpha -1\right)}{2}$    

---

Wysokości ścian bocznych w omawianym ostrosłupie są równej długości.

Wyznaczamy wysokość ścian bocznych ostrosłupa:

$\cos \beta =\frac{r}{h}$

$h=\frac{r}{\cos \beta }=\frac{c\left(\sin \alpha +\cos \alpha -1\right)}{2\cos \beta }$   

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h+\frac{1}{2}\cdot a\cdot h+\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$

$P_b=\frac{1}{2}h\left(b+a+c\right)$

$P_b=\frac{1}{2}\cdot \frac{c\left(\sin \alpha +\cos \alpha -1\right)}{2\cos \beta }\cdot \left(c\cos \alpha +c\sin \alpha +c\right)$

$P_b=\frac{c^2\left(\sin \alpha +\cos \alpha -1\right)\left(\cos \alpha +\sin \alpha +1\right)}{4\cos \beta }$     

$P_b=\frac{c^2\left({\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2-1\right)}{4\cos \beta }$  

$P_b=\frac{c^2\left(\stackrel{=1}{\overbrace{{\sin }^{}\alpha +{\cos }^2\alpha }}+2\sin \alpha \cos \alpha -1\right)}{4\cos \beta }$  

$P_b=\frac{2c^2\sin \alpha \cos \alpha }{4\cos \beta }$  

$P_b=\frac{c^2}{2}\cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{\cos \beta }$